刘光辉，夏文华

（湖南工程学院 理学院，湘潭411104）

1 预备知识

近年来，中立型时滞差分方程和时滞微分方程的研究已有不少结果［1－5］，而将离散和连续形式统一起来的测度链（实数R的任意闭子集，通常记作T）上泛函微分方程的各种理论研究才刚开始［6－9］.测度链上时滞泛函微分方程的研究是目前国际上关注的一个新课题，对其研究具有重要的理论价值和实际应用价值.本文考虑测度链上时滞泛函微分方程：

的振动性.其中0＜p（t）≤1，qi（t）∈ （Crd）（［t0，∞），R＋），τ≤σiqi（t）不最终恒为零fi∈Crd（R，R）且当u≠0，uf′i（u）＞0，fi（u）≥λi＞0.

文［1］讨论了T＝N时单滞量的非线性差分方程：Δ（yn－pnyn－k）＋qnf（yn－m）＝0的振动性.

显然，文［1，2］均为方程（1）的特殊情形.

本文记z（t）＝x（t）－p（t）x（t－τ）.

2 主要结果

引理1.设x（t）为（1）的非振动解，若x（t）最终为正（负），则最终有

zΔ（t）≤0，z（t）＞0.（zΔ（t）≥0，z（t）＜0）

若结论不成立，则最终有z（t）≤0，因为q（t）不最终恒为零，故z（t）不最终恒为零.从而z（t）＜0，存在α＞0，t2≥t1，使得t≥t2时，z（t）≤－α即有：

x（t）－x（t－τ）≤x（t）－p（t）x（t－τ）＝z（t）≤－α x（t）≤－α＋x（t－τ）从而有

x（t＋nτ）≤－α＋x（t＋（n－1）τ）≤－2α＋x（t＋（n－2）τ）≤ … ≤－（n－1）α＋x（t－τ）

故z（t）≤z（t－σ）≤x（t－σ）.

证明：假设x（t）为（1）的最终正解（最终为负同样可证）.存在t1≥t0＞0，当t≥t1时，x（t）＞0，x（t－τ）＞0，x（t－σi）＞0.由引理1知 ∃t2≥t1，使t≥t2时，z△（t）≤0，z（t）＞0.

从t到t＊积分（1）式得：

故

从t＊－τ到t积分（1）式，同理得：

因此

（1）式两边同除以x（t）－p（t）x（t－τ），

从t＊－τ到t积分上式，有：

从而有：

与

矛盾，故（1）的所有解振动.证毕.

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［3］ 陈大学，等.具有阻尼项和分布时滞的二阶中立型泛函微分方程的振动性［J］.西南师范大学学报，2007，32（5）：22－26.

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［6］ S.Hilger.Analysis on Measure Chains A Unified Approach to Continuous and Discrete calculus［J］.Results in Matematics，1990，18：18－56.

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