吕佐良

平面向量的数量积是平面向量的重要内容，由它推出的五个重要结论应用特别广泛，且是高考的热点，现拟例说明?郾

例1 已知向量a与b的夹角为120°，|a|=3，|a+b|=■，则|b|= ?郾

解析|a+b|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=9+2×3×|b|cos120°+|b|2=13，整理得|b|2-3|b|-4=0， ∴ （|b|+1）（|b|-4）=0，解得|b|=4?郾

点评 结论一是有关向量问题最常用的性质，有关向量的模的问题常常利用此结论求解?郾

例2 已知向量a=（■，■），b=（■，-■），那么a+b与a-b的夹角的大小是?摇?郾

解析 设a+b与a-b的夹角为θ，又|a|=|b|=1， ∴ cosθ=■=■=0， ∴ a+b与a-b的夹角为90°?郾

点评 结论二是求解两向量夹角的基本方法?郾 本题主要考查向量的夹角的运算，该解法没有去求a+b和a-b的坐标，而是整体考虑|a|=|b|=1，解法快捷明了?郾

例3 已知向量a=（1，n），b=（-1，n），若2a-b与b垂直，则|a|等于（）

A?郾 1?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 4

解析 利用两向量垂直的等价条件列式求出n的值即可?郾 ∵ （2a-b）⊥b， ∴ （2a-b）·b=0，即（3，n）·（-1，n）=0，解得n2=3， ∴ |a|=■=2?郾 故选C?郾

例4 已知向量a=（-1，2），b=（1，-1），且（a-2b）⊥（λa+b），则实数λ为（）

A?郾 -■?摇?摇 B?郾 ■?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 -■

解析 易知（a-2b）·（λa+b）=0，即（-3，4）·（-λ+1，2λ-1）=0，

∴ -3（-λ+1）+4（2λ-1）=0，解得λ=■?郾 故选B?郾

例5 若|a|=2，|b|=1，且（a-b）⊥b，则a与b的夹角是（）

A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■

解析 易知（a-b）·b=a·b-|b|2=a·b-1=0， ∴ a·b=1， ∴ cosθ=■=■，又θ∈［0，π］， ∴ θ=■?郾 故选C?郾

点评 两向量垂直的等价条件是两向量的数量积为0，这是向量的数量积概念的重要应用，是利用向量解决平面几何、解析几何等问题的重要工具?郾

例6 设向量a，b不共线，若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为（）

A?郾 -■?摇?摇 B?郾 -3?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 不能确定

解析 ∵ a与b不共线，且ka+b=λ（a-3b）， ∴ k=λ，1=-3λ，消去λ，得k=-■?郾 故选A?郾

例7 已知向量a=（8，■x），b=（x，1），其中x＞0?郾 若（a-2b）∥（2a+b），则x的值为（）

A?郾 4?摇?摇 B?郾 8?摇?摇 C?郾 0?摇?摇 D?郾 2

解析 易知a-2b=（8-2x，■x-2），2a+b=（16+x，x+1）?郾 ∵ （a-2b）∥（2a+b）， ∴ （8-2x）（x+1）=（■x-2）（16+x），又x＞0，解得x=4?郾 故选A?郾

例8 设e1，e2是两个不共线的向量，如果■=2e1+ke2，■=3e1+e2，■=-e1+2e2，若A、B、D三点共线，求k的值?郾

解析 易知■=■-■=4e1-e2?郾 ∵ A、B、D三点共线， ∴ ■∥■. 设■=λ■，则4e1-e2=λ（2e1+ke2），解得λ=2，k=-■?郾

点评 将三点共线转化为向量共线，利用结……