蒋明权

在最近两年中，大多数省份的数列大题、小题均考查了数列求和的知识?郾 因此，我们有必要对这一知识点进行系统研究，对常见的数列求和的方法作一综述，以帮助同学们进行高效复习?郾 数列求和题的求解策略通常有如下九种?郾

一、运用等差数列的求和公式

例1 （2010年全国卷Ⅱ）如果等差数列｛an｝中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）

A?郾 14?摇 B?郾 21?摇

C?郾 28?摇?摇 D?郾 35

解 在等差数列｛an｝中，因a3+a4+a5=3a4=12，从而a4=4.

又a1+a2+…+a7=S7=■=7a4=28?郾 故选C?郾

点评 本题考查等差数列的基本性质与常见公式. 数列求和公式有：Sn=na1+■及Sn=■?郾 在本题的解答过程中，后者显然方便得多?郾

二、运用等比数列的求和公式

例2 （2010年广东卷）已知数列｛an｝是等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为■，则S5=（）

A?郾 35?摇?摇 B?郾 33?摇 C?郾 31?摇 D?郾 29

解 设数列｛an｝的首项为a1，公比为q，又因为a2·a3=2a1，a4+2a7=2×■，所以a1q·a1q2=2a1，a1q3+2a1q6=2×■，解得a1=16，q=■?郾 故S■=■=■=31?郾 故选C?郾

点评 一般来讲，等比数列求和试题不可能事先已知首项及公比，这些数据常常需要考生运用数列的基础知识去求，然后再运用求和公式Sn=■或Sn=■（q≠1）来求解?郾

三、分组求和法

例3 数列7，77，777，…，777…7的前n项和为Sn，则Sn=?摇?郾

解 考虑到数列的通项公式是an=■=■（■）=■（10n-1），于是Sn=7+77+777+…+■=■［（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n-1）］=■［（10+102+103+…+10n）］-■n=■（10n+1-10）-■n?郾

点评 本题要求同学们将通项公式an化为一个等比数列与一个等差数列的和，再分别分组求和?郾

四、加减相消法

例4 已知数列｛an｝的通项公式为an=n2，Sn是它的前n项和，则S■=?摇 ?郾

解 ∵ an=n2，（k+1）3-k3=3k2+3k+1，以k=1，2，3，…，n代入得：

23-13=3×12+3×1+1，

33-23=3×22+3×2+1，

43-33=3×32+3×3+1，

……

（n+1）3-n3=3n2+3n+1?郾

以上各式相加得：

（n+1）3-13=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n，

即3Sn=（n+1）3-（n+1）-3（1+2+…+n）=■?郾

故Sn=■?郾

点评 常见求和公式有：1+2+3+…+n=■，12+22+32+…+n2=■，1+3+5+…+（2n-1）=n2?郾 记住这些公式，对同学们快速解题是大有裨益的?郾

五、分解通项公式法

例5 数列1×3，2×4，…，n（n+2）的前n项和为Sn=?摇 ?郾

解 该数列的通项公