吕俊芳

平面向量基本定理告诉我们两个事实：一是任何一个向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的和，二是任何两个不共线向量的线性关系都可以用一个向量来表示?郾 因此，若λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则必有λ1=μ1且λ2=μ2，这为待定系数法解题提供了理论依据?郾 由此，我们可以把平面上的直线型问题表示成某些向量的线性组合，这样，几何问题就可以转化成向量问题，再利用向量的混合运算，使问题得以解决?郾 本文拟例说明平面向量基本定理的应用，旨在帮助同学们熟悉题型特征，掌握解题方法?郾

一、用于表示向量

例1 已知a=3e1-2e2，b=-2e1+e2，c=7e1-4e2，试用a，b表示向量c?郾

解析 设c=xa+yb，则有7e1-4e2=x（3e1-2e2）+y（-2e1+e2）=（3x-2y）e1+（-2x+y）e2， ∴ 3x-2y=7，-2x+y=-4?郾 解得x=1，y=-2?郾 故c=a-2b?郾

例2 如图1，在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，线段BN与CM交于点E?郾 设■=a，■=b，试用a，b表示■?郾

解析 M、E、C三点共线，且■=3■?郾

设■=t■，则有

■=t■+（1-t）■=t■+■（1-t）■?郾

设■=s■，又■=4■，

∴ ■=s■+（1-s）■=s■+■（1-s）■，则有

t■+■（1-t）■=s■+■（1-s）■.

又∵ ■与■不共线， ∴ t=■（1-s），■（1-t）=s?郾 解得t=■，s=■?郾

故■=■a+■b?郾

点评 对同一向量，得到两种不同形式的表达式，然后利用平面向量的基本定理，结合待定系数法求解，这种方法在解决向量问题时经常用到，同学们要理解并能熟练掌握?郾

二、用于证明向量共线

例3 设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a+b与c共线，b+c与a共线，试问b与a+c是否共线，并证明你的结论?郾

解析 ∵ a+b与c共线， ∴ 存在唯一实数λ，使得a+b=λc?郾 又 b+c与a共线， ∴ 存在唯一实数μ，使得b+c=μa?郾 以上两式相减，得a-c=λc-μa，即（1+μ）a+（-1-λ）c=0?郾 ∵ a与c不共线， ∴ 由平面向量基本定理知1+μ=0，-1-λ=0，即μ=λ=-1， ∴ a+b=-c，也就是a+c=-b?郾 故b与a+c共线?郾

点评 解共线条件下的向量问题的方法是：根据共线的条件，通过设系数建立方程，再利用平面向量的基本定理，比较系数，得到新……