张 青，张 昆

（安徽农业大学理学院，安徽合肥230036）

近年来，关于连续型和离散型捕食系统的周期行为的研究吸引了诸多学者的关注．但在时标上研究捕食系统的周期解的相关工作不多．时标动力学方程作为一种更为广泛的方程类型，它包括了微分方程和差分方程作为特例，是近年新兴的研究领域．自2006年Bohner等［5]首次运用重合度理论中的延拓定理研究时标动力学方程的周期解存在性以来，相继有些学者进行了此类问题的研究．经典的Lotka－Volterra竞争模型可表示为

这里x（t）和y（t）分别表示食饵和捕食者的密度，b1和b2分别表示两种群的内禀增，bi，aij（i，j＝1，2）均为正常数，其具体意义可见文献［9] ．考虑到环境的变化，我们得到更适合的Lotka－Volterra竞争模型

本文将在时标上研究如下系统

的周期解存在性问题．令x（t）＝exp（u1（t）），y（t）＝exp（u2（t）），当T＝R时，系统（3）变成（2）．T＝Z（整数集）时，系统（3）变成

1 基本引理

为了证明周期解的存在性，先介绍重合度理论中的连续性定理．设X，Z是赋范向量空间，L：DomL⊂X→Z为线性映射，N：X→Z为连续映射．如果DimKerL＝codim ImL＜＋∞且ImL为Z中的闭子集，则称映射L为指标为0的Fredholm映射．如果ImL是指标为0的Fredholm映射且存在连续投影P：X→X及Q：Z→Z使得lmP＝KerL，ImL＝Ker Q＝Im（I－Q），则L（I－P）X→ImL可逆，设其逆映射为Kp．设Ω为X中的有界开集，如果有界且Kp（I－Q）N→X是紧的，则称N在为L－紧．又因为ImQ与Ker L同构，所以存在同构映射J：ImQ→Ker L．

引理1［10]（连续性定理）设L是指标为0的Fredholm映射，N在为L－紧的．假设：（a）对任意的λ∈（0，1），x∈∂Ω，都有LxλNx；（b）对任意的x∈∂Ω∩Ker L并且deg｛JQN；Ω∩Ker L；0｝0，则方程Lx＝Nx在DomL∩内至少存在一个解．

引理2［11]设t1，t2∈Iω，t∈T，若g是T→R的ω－周期函数，则

2 主要结论

定义1 lω＝｛（u1，u2）∈（T，R2）：ui（t＋ω）＝ui（t），i＝1，2，∀t∈T｝且

显然lω是Banach空间．

证明 令X＝Z＝lω，定义

设Ω是X中的有界开集，显然QN和Kp（IQ）N是连续……