徐俊峰

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

全纯函数的正规族与分担集

徐俊峰

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

利用分担集合的思想证明了定理：设F是单位圆盘内的一族全纯函数族，a1和a2是2个不同的有限复数且a1+a2≠0；当α≥1时，如果对于任意的f∈F，Ef(S)=Ef＇(S)，S={a1,a2}在单位圆内成立，那么f是一个α-正规函数.

全纯函数；亚纯函数；正规函数；分担集

1 引言及主要结果

设D是复平面的区域，F是区域D中的一族亚纯函数. 在Montel意义下，如果F的子序列{fn}中包含一列子序列{fnj}，且其在D内一致局部球形收敛到一个亚纯函数或者无穷，则称F在区域D内正规.[1]

本文假设f,g是区域D内的2个亚纯函数，S1和S2是2个集合. 如果f(z)∈S1⇒g(z)∈S2，则记为f(S1)⊂g(S2). 如果f(z)∈S1⇔g(z)∈S2，则记为f(S1)=g(S2). 类似地，如果f(z)∈S1⇔g(z)∈S2，则记为Ef(S1)=Eg(S2). 如果集合S只有1个元素a，我们用f(z)=a表示f(z)∈S.[2]

Schwick[3]首先将函数族F（和它们的导数）的分担值与其正规性联系起来，并证明了：对每一个f∈F，以及区域D内的3个不同复数a1,a2,a3，如果f和f＇分担a1,a2,a3，那么函数族F在区域D内正规.

庞学诚等[4]325推广了这个结果，得到定理A.

定理A 设F是区域D中的一族亚纯函数族，a,b,c,d是复常数且满足c≠a和d≠b. 如果对每一个f∈F，有f(z)=a⇔f＇(z)=b和f(z)=c⇔f＇(z)=d，那么F在区域D内正规.

定义1[5-6]一个亚纯函数f是单位圆D内的正规函数当且仅当这里存在一个常数 C(f)（此常数仅与f有关）使得(1-|z|2)f♯(z)＜C(f)，这里f♯(z)=|f＇(z)|/(1+|f(z )|2)是f的球形导数.

2000年，庞学诚[7]602利用分担值考虑正规函数，得到定理B.

定理B 设F是单位圆中的一族亚纯函数族，a1,a2,a3是3个不同的有限数. 如果对每一个f∈F，f(ai)=f＇(ai)，i=1,2,3，在单位圆内成立，则存在一个正数M（M仅与a1,a2,a3有关），使得对每一个f∈F，有(1-|z|2)f♯(z)＜M .

事实上，由定理B可……