栗 裕，郭红梅

(1.山西体育职业学院，山西 太原 030006;2.山西生物应用职业技术学院，山西 太原 030031)

设(E，‖·‖)是实Banach空间，f∈C(J×E×E×E，E)，J=[0，a](a>0)，0=t0

(1)

其中

(2)

K∈C⎣D0，R+」，h∈C⎣D1，R+」，D0={(t，s)∈R2:0≤s≤t≤a}，D1={(t，s)∈R2:t≥0，s≤a}

1 概念和引理

引理1 设X是Banach空间，Ω⊂X是有界开集，θ∈Ω，A:X→X连续，并且满足下列条件：

(i)x≠λAx，∀λ=[0，1]，x∈∂Ω，

引理2 设m∈C[J，R+]且

其中L>0，N≥0并满足N(eLa-1)

m(t)=0，∀t∈J.

这里L1≥0，L2≥0，L3≥0，Mi∈R+(i=0，1，…，m)，则m(t)≡0，∀t∈J.

(3)

引理4 算子A是映PC[J，E]到PC[J，E]的连续算子.

2 主要结果

文中使用如下假设

(Q1)存在常数L1≥0，L2≥0，L3≥0，使得

a(f(t，D(t)，(TD)(t)，(SD)(t)))≤L1a(D(t))+L2a((TD)(t))+L3a((SD)(t))且满足下列条件之一：

(i)KaL3h0(eδ(2L1+2ak0L2)-1)

(ii)a(2L1+aL2K0+aKL3h0)<1.

(Q2)对∀t∈J，存在常数b1≥0，以及J上的非负有界函数b2(t)，b3(t)，b4(t)，使得‖f(t，u，Tu，Su)‖≤b1+b2(t)‖u‖+b3(t)‖Tu‖+b4(t)‖Su‖.

定理1 设E为实Banach空间，P为E中的正规锥，如果有f∈C[J×E×E×E，E].Ii∈C[E，E](i=1，2，…，m)，且Ii(i=1，2，…，m)在Tr上有界，若(Q1)、(Q2)成立，则方程(1)在PC[J，E]∩C1(J'，E)中至少有一个解.

证明 (1)由题易知，u∈PC[J，E]∩C1[J'，E]是方程(1)的解当且仅当Au=u，由引理4知，A是映PC[J，E]到PC[J，E]的连续算子.

(2)利用递归法证明Ω0={u∈PC[J，E]：u=λAu，0≤λ≤1}是PC[J，E]中的有界集.事实上，设u0∈Ω0，则存在λ0∈[0，1]，使得

u0(t)=λ0(Au0)(t)，t∈J.

(4)

易知

‖Tu0‖≤k0t1‖u0‖，‖Su0‖≤h0t1‖u0‖

(5)

令u(t)=‖u0(t)‖，由条件(Q2)、(2)、(4)、(5)可得

(6)

其中

(ii)当t∈J1=[t1，t2]时，

‖u0(t)‖≤C2，t∈J1.

(iii)继而可知存在不依赖于u0的常数Ci>0，使‖u0(t)‖≤Ci，t∈Ji-1(i=3，4，…，m+1)，令C=max{Ci:1≤i≤m+1}，则‖u0(t)‖≤C.

其次，取R>C，Ω={u∈PC[J，E]:‖u‖PC

令m(t)=α(D(t))，由引理3可知，m∈⎣Ji，R+」(i=0，1，…，m)，那么当t∈J0=[0，t1]时，由条件(Q1)、式(2)及引理可知有

a(D(t))≤α(AD(t))≤

由引理3和条件(Q1)，可知m(t)=0(t∈J0)，因此

α(D(t))=0，∀t∈J0

(7)

特别地，α(D(t1))=0.

又因为I1∈C[E，E]，所以

α(I1(D(t1)))=0

(8)

当t∈J1=(t1，t2]时，由条件(Q1)、式(2)及引理可知

α(D(t))≤

由引理3和条件(Q1)，可知m(t)=0(t∈J1)，故

α(D(t))=0，∀t∈J1

(9)

特别地，α(D(t2))=0.

又因为I2∈C[E，E]，所以

α(I2(D(t2)))=0

(10)

如此，继而易证α(D(t))=0，t∈Ji(i=2，3，4,…，m)，因此D是PC[J，E]中的相对紧集.

综上所述，由引理1可知，A在Ω中至少有一个不动点，从而式(1)在PC[J，E]∩C1(J'，E)中至少有一个解.

参考文献：

[1]孙经先，刘立山.混合型微分-积分方程的单调迭代方法[J].系统科学与数学，1993(1):160～166.

[2]刘立山.Banach空间混合型微分-积分方程的解[J].数学学报，1995，38(6):721～731.

[3]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科技出版社，1985.