郝守庆，王著兰，袁书波

(1.山推工程机械股份有限公司，山东省 济宁市，272000;2.山东胜利职业学院，山东省 东营市，257097;3.华北石油工程建设有限公司，河北省 任丘市，062552)

0 引言

交流电力系统自诞生起，在产生基波电量的同时就孪生了谐波问题。随着电力系统中非线性负荷的大量投用，电力系统中的谐波情况愈发复杂，不仅存在频率是基频整数次谐波，而且存在非整数次间谐波，并对电网的危害日益严重。解决谐波问题显得非常迫切，而对谐波、间谐波进行有效分析治理的基础便是对其准确的检测［1-2］。

本文采用基于时频自适应最优核的时频分析方法检测谐波、间谐波的频率，该方法能够用于不同类信号，可以最大程度地抑制同时间点各分量所引起的交叉项干扰［3-4］。同时，结合快速傅里叶变换方法检测谐波、间谐波的幅值［5］，可以检测谐波、间谐波起止时间、频率和幅值大小。针对存在较强白噪声、谐波、间谐波信号进行了仿真研究，仿真结果表明该方法是有效的。

1 时频分布

1.1 自适应最优核时频分布

时频分析的思想起始于20世纪40年代，在众多的时频分析方法中，Wigner-Ville时频分布是最基本的分布，具有许多优良的特性。Wigner-Ville时频分布是信号时变自相关函数关于τ的傅里叶变换

如果对时变自相关函数中的t做变换，则可得到另一种二维时频分布函数［6］

由式(1)(2)可得到

由Wigner-Ville时频分布发展起来的各种分布可统一表示成Cohen类双线性时频分布［7］

式中Φ(θ，τ)为低通的核函数，通过设计不同的核函数就可以得到不同的分布特性。

自适应最优核时频分析方法是由Wigner-Ville时频分布改进而得到的，在该分布中短时模糊函数A1(t，θ，τ)是被窗函数截断后的一小段信号的模糊函数［8-10］

式中:ω(u)为对称的窗函数;t为ω(u)的中心位置。令＞T(T是窗长)时，ω(u)=0，则在任一时刻t，只有在［t－T，t+T］内的信号才可以计算其模糊函数。对于信号的任意细节部分，短时模糊函数都可以准确地刻画出来。此时，可得与之相对应的自适应最优核Φopt(t，θ，τ)，则时间段［t－T，t+T］内信号的自适应最优核时频分布为

自适应最优核时频分布中的核函数能够随着时间的变化而变化，且其核最优化过程在时间滑动窗内实现，能够追踪信号的变化，但是对于非平稳多分量信号，该方法不能很好地抑制同时间点各分量所引起的交叉项干扰。

1.2 时频自适应最优核时频分布

时频自适应最优核的时频分析方法可以最大程度地抑制同时间点各分量引起的交叉项干扰，该方法将信号的Wigner-Ville时频分布看成二维信号，在此时频平面上的每点最优化其核函数，使得核函数能够在时频平面内具有自适应的特性。具有时频局部化性质的模糊函数为

式中t和 ω给出了二维窗函数的中心位置，将Wigner-Ville分布与窗函数 A(u－t，v－ω)相乘，可以将积分区域限制在t和ω的邻域内。与加窗傅里叶变换相同，窗函数的选取要保证其既要具有时频局部化性质，也要具有模糊域局部化性质。由于二维高斯窗可以能够达到不确定性原理的下界，这里可以采用二维高斯窗来保证式(8)的同时在时频域和模糊域具有较好的分辨率。在定义局部模糊函数以后，时频自适应最优核函数Фopt的设计可以转换为如下的最优化问题

式中:Ap(r，φ，t，ω)、Φp(r，φ，t，ω)分别为局部模糊函数和核函数的极坐标表达形式，其约束条件为

2 时频自适应最优核时频分布算法

(1)将直角坐标下的局部模糊函数转换为极坐标下的模糊函数。

(2)求极坐标网格点上的径向高斯核函数，将所有的展布参数写成向量形式，那么最优核函数的问题就转化为寻找最优展布向量。

(3)利用梯度上升法迭代获得最优化的展布向量，记i步迭代的展布向量为σi(φ)。归一化展布向量σi(φ)以保证径向高斯核函数的体积等于α。上述迭代过程需要迭代多次来保证σi(φ)的误差足够小，选取合适的收敛步长σi(φ)以保证迭代快速收敛。此迭代过程迭代若干次以后，可以得到最优化的展布向量σopt。

(4)求得矩形网格上的时频自适应最优径向高斯核 Фopt。

3 仿真分析

本文应用时频自适应最优核时频分布理论检测谐波和间谐波的幅频特性。设定电压幅值为1，信号长度为2048个点，采样率为每周波200个点，其中在600点处加入幅值为1.5的4.5次间谐波，1200点处再加入幅值为2的7次谐波。时频自适应最优核时频分布的分析窗为300×300，核函数体积α=1.5。同时，用S变换［12-15］对该信号进行时频分析用以对比，采样频率为1 kHz，采样时窗长2.048 s。检测信号的幅频特性如图1所示。

图1 含白噪声、谐波和间谐波的检测结果Fig.1 Test results with white noise，harmonics and interharmonics

图1(a)为含随机白噪声、谐波和间谐波电压信号时域波形图。图1(b)为信号应用时频自适应最优核时频分布得到的时频分布图，从该图可以清晰地观测出谐波和间谐波发生的时间及频率大小。图1(c)为信号应用S变换得到的时频分布图，通过对比图1(b)、(c)可以看出，时频自适应最优核时频分布有着更高的时频分辨率，能够更清楚地刻画谐波和间谐波的时频特性，并且有较强的抗噪能力。图1(d)清晰地检测出了谐波与间谐波的各频率的幅值。仿真结果表明，本文采用的方法既可以准确地检测出谐波与间谐波发生的时间与频率，又能检测出各频率下谐波和间谐波的幅值大小，且具有较强的抗噪能力。

4 结论

时频自适应最优核时频分布是对时频平面上的每一点最优化其核函数，从而使得核函数能够在时频平面内具有自适应的特征，以此提高时频分辨率。仿真结果表明:该方法有着较高的时频分辨率和抗噪能力，能够较清晰地检测出谐波和间谐波的起止时间和频率大小;结合快速傅里叶变换检测信号的幅频特性，可清晰地观测出谐波和间谐波各频率下的幅值，从而准确地检测出谐波和间谐波发生的起止时间、频率和幅值大小。

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