张永战，张庆祥

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

其中x∈M⊆Rn，M是关于 η的E－不变凸集，

半 E－预不变凸函数与多目标规划的最优性条件

张永战，张庆祥

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

先对半 E－预不变凸函数做了进一步研究，得到了它的几个性质及半 E－严格预不变凸函数的判定定理，进而给出了半 E－预不变凸函数在多目标规划问题中的最优性条件，进一步丰富了优化研究内容。

半 E－预不变凸性；多目标规划；有效解

凸性及广义凸性是规划问题的一个重要研究内容。目前凸函数已被沿着多种途径进行了推广。1999年 Youness［1］通过定义 E－凸集，将凸函数推广到 E－凸函数。而后Yang［2］及Chen［3］指出了文献［1］的一些错误结论并举出反例。Hanson［4］引入不变凸函数，并证明了 Kuhn－Tucker条件的充分性，Weir等人［5］定义了预不变凸函数。1995年Mohan和 Neogy［6］证明了在条件 C下，不变凸函数是预不变凸函数，拟不变凸函数是预拟不变凸函数。张庆祥［7］1994年证明了广义不变凸多目标规划的最优性条件。

半 E－预不变凸函数是一类重要的广义凸函数，它是半E－凸函数的推广。研究更多的半 E－预不变凸函数的性质与多目标规划的最优性条件以便于进一步认识半E－预不变凸函数，从而广泛应用它来解决实际问题。

1 预备知识

定义1 M⊆Rn称为不变凸集，若存在η：M× M→Rn，使得对任意 x，y∈M，λ∈［0，1］有

定义 2 M⊆Rn称为关于 η的 E－不变凸集，如果对任意x，y∈M，λ∈［0，1］，有

定义3 函数 f：Rn→R被称为在集合M⊆Rn上的半E－凸函数，当且仅当存在映射 E：Rn×Rn→Rn，对任意x，y∈M⊆Rn，λ∈［0，1］，使得M是E－凸集，且有

定义4 称函数 f：Rn→R是在E－不变凸集M⊆Rn上关于 η的 E－预不变凸函数，如果存在 η：M ×M→Rn，对任意x，y∈M，λ∈［0，1］，有

定义 5 称函数 f：Rn→R是在E－不变凸集M⊆Rn上关于 η的半E－预不变凸函数，如果存在η：M×M→Rn，对任意x，y∈M，λ∈［0，1］，有

在此定义中，显然有当η（E（x），E（y））＝E（x）－E（y）时，f为半 E－凸函数，即半 E－预不变凸函数是半 E－凸函数的推广。

定义6 称函数f：M→R是在E－不变凸集 M上关于 η的半 E－严格预不变凸函数，如果存在 η：M×M→Rn，对任意x，y∈M，x≠y，λ∈［0，1］，有

条件 C 向量函数 η满足条件 C是指：对任意x，y∈M，λ∈［0，1］，C1：η（y，y＋λη（x，y））＝－λη（x，y）；C2：η（x，y＋λη（x，y））＝（1－λ）η（x，y）.

引理 1 向量函数 η满足条件C，则有 η（y＋λη（x，y），y）＝λη（x，y）.

证明过程见文献［9］的定理1。

条件D M⊆Rn称为不变凸集，称函数 f：M⊆Rn→R满足条件 D是指：

对任意x，y∈M，有f（y＋η（x，y））≤f（x）.

2 主要结果

2.1 半 E－预不变凸函数性质

定理1 M是关于 η的E－不变凸集，E（M）是不变凸集，η：M×M→Rn且满足条件 C，f：Rn→R是在E－不变凸集M上关于相同η的半E－预不变凸函数，且f（x）≤f（E（x）），若存在 α∈［0，1］，使得对任意x，y∈E（M）⊆M，x≠y有

则 f（x）是在M上关于 η的半E－严格预不变凸函数。

证明 假设 f（x）不是在 M上关于 η的半 E－严格预不变凸函数，则存在x，y∈M，x≠y，λ∈［0，1］有

选取β1，β2满足 0≤β1＜β2≤1，且 λ＝αβ1＋（1－α）β2，

由E（M）是不变凸集，故令

因为 f（x）是关于 η的半 E－预不变凸函数，故有

由条件C，我们有

即

由（3）和（4）及f（x）≤f（E（x））有

这与（2）矛盾。

定理2 设

（i）E（M）⊆M是关于 η的不变凸集，M是关于η的 E－不变凸集；

（ii）η满足条件C，f满足条件 D；

则 f关于相同的 η是E－预不变凸函数的充要条件是：

在［0，1］上是凸函数。

证明 必要性：若 f是 M上关于 η的半 E－预不变凸函数，则由定义得，

对任意x，y∈M，λ∈［0，1］及 α1，α2∈［0，1］有

若 a1＝a2，则

另外，假设 a1－α2＞0，由 a1，a2∈［0，1］可知 a2≠1，

由引理1，有

由此及 E（M）的不变凸性和f的E－预不变凸性，

（5）式可以写成如下形式

当 a1－a2＜0，利用条件 C中的C1可证得

故 Φ（a）为区间［0，1］上的凸函数。

充分性：因 Φ（a）为区间［0，1］上的凸函数，又f满足条件D，所以对任意x，y∈M，λ∈［0，1］有

注 对于半预不变凸函数，上述充分性成立，必要性不一定成立。

定理3 设 M是关于η的 E－不变凸集，f关于相同的 η是半 E－预不变凸函数，

则 H为凸集。

证明 对任意的 a1，a2∈H，存在 x1，x2∈M，使得a1，a2∈R，且f（x1）≤a1，f（x2）≤a2。由 M的 E不变凸性，对∀λ∈［0，1］，有 E（x2）＋λη（E（x1），E（x2））∈M。又f（x）为M上的关于∀的半E－预不变凸函数，所以

从而

所以 H为凸集。

2.2半 E－预不变凸多目标规划的最优性条件

考虑如下多目标规划

其中x∈M⊆Rn，M是关于 η的E－不变凸集，

且三者均为M上的关于相同η的半E－预不变凸函数。记

定理4 设f1（x），f2（x），...，fp（x）是x0＝E（x0）处关于η的半E－预不变凸函数，则的局部有效解也是全局有效解。

证明 设 x0＝E（x0）是）的局部有效解，则存在一个邻域 N（x0，ε），不存在

使得假设x0不是全局有效解，则存在使得f（x*）≤f（x0），即有fi（x*）≤fi（x0），i＝1，2，...，p.

因为fi（x），i＝1，2，...，p是半 E－预不变凸函数，所以对任意λ∈［0，1］，有

当 λ→0＋时

定理5 设 M是关于 η的开 E－不变凸集。f（x）是 M上关于 η的半 E－预不变凸函数，且在 x0处沿任何方向的方向导数非负，则 x0是）的全局有效解。

证明 因为 f（x）在 x0处是半E－预不变凸函数，则对任意x，y∈M，λ∈［0，1］

令 λ→0＋，我们有

由已知条件有

因此有f（x）－f（x0）≥0，即x0是的全局有效解。

构造如下的单目标问题

其中 λ＝（λ1，...，λp）T∈Λ＋＋，Λ＋＋

引理 2［10］对每个给定的 λ∈Λ＋＋，则相应于（SP）λ的最优解必是（VP）的有效解。

定理6 设M是关于η的开E－不变凸集，f：M→Rp，g：M→Rm，h：M→Rq，若存在x0＝E（x0）∈M满足如下条件：

（i）f，gI，h均为 x0处关于 η的可微半 E－预不变凸函数；

（ii）存在 λ－∈Λ＋＋，u－∈Rm＋，v－∈Rq使得

则 x0为的有效解。

证明 因为 f是 M上关于 η的半 E－预不变凸

由 x0＝E（x0）∈M得

由 f的可微性得

于是

同理

将（8），（9），（10）三式左右两边分别相加并由（a）得

另外由 gI（x）≤gI（x0）＝0，h（x）＝h（x0）＝0有

即 x0是的最优解。

根据引理 1 x0为）的有效解。

［1］Youness E A.E－convex sets，E－convex functions and E－convex programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999，102（2）：439－450.

［2］Yang X M.On E－convex sets，E－convex functions and E－convex programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2001，109（3）：699－703.

［3］Chen X S.Some properties of semi－E－convex functions［J］.JMath Anal Appl，2002，275：251－262.

［4］Hanson M A.On sufficiency of the Kuhn－Tucker conditions［J］.Mathimatical Programming，1981，80：545－550.

［5］Weir T.and Mond B.Pre－invex Functions in Multiple Objective Optimization［J］.JMath Anal Appl，1988，136：29－38.

［6］Mohan SR.，Neogy SK.On invex sets and preinvex functions［J］.JMath Anal Appl，1995，189：901－908.

［7］张庆祥.广义不变凸多目标规划的最优性条件［J］.延安大学学报，1994（1）：26－32.

［8］彭建文，杨新民.严格预不变凸函数的两个性质（英文版）［J］.运筹学学报，2005（9）：37－42.

［9］赵克全.r－预不变凸函数的一个充分条件［J］.重庆师范大学学报（自然科学版），2006，23（1）：10－13.

［10］林锉云，董家礼.多目标优化的方法与理论［M］.长春：吉林教育出版社，1992.

［责任编辑 贺小林］

The Sem i E－Preinvex Functions and Optimality Conditions for M ultiobjective Programm ing

ZHANG Yong－zhan，ZHANG Qing－xiang
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

The semi E－preinvex functions are further studied，some properties of semi E－preinvex functions and a criteria of semi E－strictly preinvex functions are presented，lastly optimality conditions formultiobjective programming involving the semi E－preinvex functions are given.

semi E－preinvexity；multiobjective programming；efficient solutions

O221.6

A

1004-602X（2011）01-0010-04

2011 -03 -01

陕西省教育厅专项科研基金资助课题（06JK152）

张永战（1985—），男，陕西定边人，延安大学在读硕士研究生。