白艳伟 张 超

（1.太原理工大学电气工程系，太原 030024；2.华北电力大学电力工程系，河北 保定 071003）

在我们进行网络设计时，总是需要知道所设计的网络由于元件参数值的一定容差或环境温度的变化所受到的影响如何。网络由于元件参数值的一定容差或关于温度变化等因素所受到的影响程度可用网络的灵敏度来衡量。

对电网进行灵敏度分析的重要性是不言而喻的。在电路设计以及电路的故障诊断中，对电路进行灵敏度分析是一件重要的工作。伴随网络法与增量网络法是电网灵敏度分析中常用的方法。但是，这两种方法有各自的局限性，伴随网络法需要构造伴随网络，且需要求解两个网络后才能得到电路中相应的灵敏度，而增量网络法需要计算偏导数。此外，伴随网络法只能一次求解多参数单输出的网络；增量网络法只能一次求解多输出单参数的网络，不便于求解复杂网络的灵敏度计算时使用。

因此不少文献[1-5]均对灵敏度分析进行了探讨，并提出了各种不同的分析方法。文献[1]应用连通图的k－树树支导纳乘积，给出网络函数及其灵敏度分析的符号表达式。该方法较之以数值计算为基础的伴随网络法和增量网络法，具有计算精度高、速度快，易于计算机实现的优点。文献[2]以电力系统稳态交流潮流方程为基础，应用电网络矩阵方程并根据PV、PQ及平衡节点的特点，导出了增量方程及灵敏度矩阵，通过一次计算可求得系统中所有节点电压变量（从而所有的状态变量）对全部线路（支路）参数或对控制变量的灵敏度。文献[3]通过一个“基础子阵”hadamard乘积的微分性质，推得了网络多端口多参数二阶灵敏度的矩阵表达式。文献[4]通过基于分析开关电容（SCN）的z域改进节点电压方程，只要该方程系数矩阵的逆（即该SCN的传递矩阵）存在，则可求得全部离散时间电压对全部电路元器件参数的灵敏度。文献[5]针对与鞍结分岔相关的电压稳定裕度对参数的灵敏度计算问题，提出了一种解线性方程组求灵敏度的新方法。

本文中讨论的第一种方法是计算多参数的时域电路灵敏度分析的新方法，这种方法通过对直接微分改进算法的严格数学推导可以同时计算一个或者更多的电路变量（节点电压、支路电流等）以及一些电路参数（电阻、电容等）。这种方法通过对多参数时域电路进行数学公式推导、电路分析从而得到电路的灵敏度方程。

电路的层次分析法则提出一种不同于以往传统计算的灵敏度分析方法，它直接采用电路的层次结构来解决网络方程的问题。层次分析法还采用矩阵方程的 LU分解，在传统的计算方法中没有精确的LU矩阵分解，该方法的计算过程与电路的等效方程计算的结果相符，它消除了电路的所有内部节点而只保留终端节点。

1 直接微分改进算法（DDMA）

任意一个电路N都可以由非线性微分代数方程描述如下：

式中，A=(v,ia)T∈Rn是由节点电压列向量v和辅助电流列向量ia。P∈Rm是电路设计和使用时的参数，已引入灵敏度方程的推导。X=(q(v),f(ia))∈Rh是电容器充电电压和电感电流。X上的一点表示的是变量对时间的变化，对于X和A、P的准确关系是由一系列代数方程来描述的。

由于总体上对于式（1）没有准确的形式，因此需要对它进行一定量的数学变形，这些公式应用于电路分析中是通过对原网络变成线性电阻电路，通常称之为伴随网络[6]，就是得到将非线性元件或储能元件线性化了的支路方程。

为了同时得到网络函数关于参数P的灵敏度矩阵，也就是说需要计算n×m阶的灵敏度矩阵的子矩阵A=[a1,a2,…,an]T对参数P=[p1,p2,…,pn]T的导数，记作

2 直接微分改进算法的应用

为了使上述方法更容易理解，下面举例来说明，选择一个常见的简单电路如图3所示，要求电路变量关于参数R和C的灵敏度。

图1 灵敏度计算的基准电路

列写关于RC电路的传递函数方程为

经过线性化和离散化后，图1可以用下列方程来描述

式中，tn是当前时间点，h=tn+1－tn，而α和β通过向后欧拉法来得到的是α=1,β=0，用梯度法得到的是α=2,β=1。

为了得到我们需要求解的灵敏度求解方法，如上例所示我们考虑元件电容为关心的参数如图2所示，图中独立电压源由短路来代替，线性电容不变外相应地增加独立电流源v2(t)=-(VIN/RC)e(-t/RC)。灵敏度电路可由下列连续时域方程形式表示出

容易证得ψ1(t)，ψ2(t)，φ(t)分别对应于v1(t)，v2(t)，i(t)关于参数C的灵敏度。

从式（8）可以看出，如果h在N和η中相同，那么，灵敏度矩阵和式（7）所描述的雅可比矩阵相一致。进一步说，如图2所示也可以看出考虑电容节点灵敏度的重要性是为了正确的改进式（7）中Rhs的列矩阵。事实上，对于电容器的节点电压ψ2以及它的伴随电流源在前一个时间点上相关，这也相应于前面所述的v2对电容C的灵敏度。

图2 并联RC的电路灵敏度计算

由于我们关心的是ψ2(tn+1)的求解，所以首先需要选择雅可比逆矩阵的第二列乘以Rhs列矩阵。为了得到J-1中需要求解的列，需要求解如图3所示的伴随网络N∧。

图3 并联RC线性电路的伴随网络

伴随网络可以由下列方程描述

解得

3 电路层次分析法概述

层次分析法采用矩阵方程的 LU分解，在传统的计算方法中没有精确的 LU矩阵分解，该方法的计算过程与电路的等效方程计算的结果相符，它消除了电路的所有内部节点而只保留终端节点，因为终端节点对于子电路相连是必要的，如果一些子电路组成一个新的更高层次的子电路，一些终端节点就会成为新的层次的内部节点，而其余的仍然是终端节点（如图4所示）。这些新的内部节点的减少就会产生一个新的等效电路，这些方法正好对应于高斯消去原理，当整个等效电路对应于原电路，这个消去过程也就终止。

其中，每一个粗线代表一组节点，每个长方形方块代表子电路连接块，每一个圆形代表电路元件，顶部圆框代表的电源和负荷。

图4 任意层次电路

下一步该算法确定完整的电路变量的值，其中的一些相应于下一个层次的子电路的终端节点的变量。但是，子电路的局部变量是可以确定的，该方法通过对所有子电路各层次的重复分析过程来导出完整的解决方法，这些步骤可以替代高斯算法的一部分。

分层线性模拟电路已成功地用于许多微波CAD软件包，并总结成一组公式应用在任何节点电压，以系统地计算在任何层次的（内部或外部的任何子网）的电路[7]。

首先，我们用下列办法来解决最高一级的终端电路，即

式中，花括号中的矩阵是一个N×N阶的矩阵再和终端电路的外部电源电压Vs(k)做乘积，Ys(k)和Zs(k)都是包含终端节点的导纳和阻抗对角矩阵，相应地，如图5所示，Ys(k)是端接电路导纳矩阵，Vs(k)和Is(k)相应地表示电路中电压源和电流源。列向量V(k)包含需要求解的外部电压模块。因此，所有这个子电路（包含内部和外部）节点电压Vt(k)可以由下列方程得到

式中，A(k)是子电路的改进节点导纳矩阵，I(k)表示流过子电路外部节点的电流。

式（13）中电压Vt(k)提供了所有子电路下一层的外部电压，因此利用此式进行反复迭代，直到算出所有要求的节点电压。此公式适用于开路和短路的端子。例如，端口1短路表示在矩阵Zs(k)中Z1=0；端口nE+2开路表示导纳矩阵Ys(k)中Z2=0。

图5 终端子电路的典型电路（包含电压电流源）

其中，整个端口序列1，2，…,nE对应电压源，nE+1，nE+2，…，nE+l对应电流源，全部节点数为N，N=nE+nl。

4 层次灵敏度分析在交流电路中的应用

列写一个基本子电路的节点电压方程

式（14）关于参数q求一阶偏导可得

引入新变量将式（15）化为

此处Ye表示子电路的节点导纳矩阵，ΔVe列向量表示元件电压的增量，ΔIe为元件电流列向量的增量，ΔJe元件电流扰动引起的变化量，Δq为参数q的增量。

子电路的简化方程为

式中，ΔVt，ΔJt，ΔIt是等效电路终端变量的增量。

继续进行下一个更高层次的分析法时的方法类似于上面的分析方法，因为式（16）和式（17）具有相同的形式[8]。

式（16）用导纳矩阵Yt和列向量 ΔVt，ΔJt，ΔIt来建立导纳矩阵Ye以及列向量ΔVe，ΔIe，ΔJe此外，还采用了一些子电路相关的元件。

重复上述过程直到全部电路都完成前面的消去工作，式（17）就转化为

后边的替换都始于终端电压增量tVΔ的求解

这种方法代替了下面的分层分析和局部变量的方法该过程，一直重复该过程直到到达最后的层次水平，这才完成了全部的替代。

5 结论

直接微分改进算法是一种新的解决时域电路变量灵敏度分析的有效算法。DDMA算法与直接法和伴随技术比起来更强调CPU运行时的时间成本。而在层次灵敏度分析法中用到的数字运算的总数几乎等于原来的分析方法，因为在这两种方法中使用所有方程具有相同的导纳矩阵，而这两种方法的结合大大的减少了方程的运算，对于不是仅有一个参数q的灵敏度分析就更加有意义，对于每一个参数都将找到一个方程与其相对应。关键一点是，对于减少方程系数矩阵的数学运算可以通过 LU分解以及使用和原矩阵相同的储存位置来实现。这种新算法的准确性也是可以估算的，通过估算离散方程解的灵敏度来确定。此种方法的效率准确性IEEESpice3F5系统中也得到了很好的验证[9]。

[1] 罗日成，李卫国.基于图论的网络函数灵敏度符号分析法[J].长沙电力学院学报(自然科学版),2004,19(3).

[2] 李彬华.基于伴随网络的电力系统灵敏度分析的新方法[J].电路与系统学报,1998 (2).

[3] 孙湛惠，黄香馥.计算网络多端口多输出高阶灵敏度的简便方法[J].电子学报,1990(2).

[4] 罗先觉，周涛，胡洪萍. 开关电容网络灵敏度分析的传递函数法[J].系统工程与电子技术，2001，23(4).

[5] 江伟,王成山,余贻鑫,ZHANG Pei.电压稳定裕度对参数灵敏度求解的新方法[J].中国电机工程学报,2006,26(2).

[6] Lidia Daldoss, Associate Member, IEEE, Paolo Gubian,and Michele Quarantelli；Multiparameter Time-Domain Sensitivity Computation[J] IEEE TRANS.ON.2001.48(11)

[7] John w. bandler, qi-jun-zhang, Randolsw M. Bifrnack.A Unified Theory for Frequency-Domain Simulation and Sensitivity Analysis of Linear and Nonlinear Circuits[J].IEEE Trans.on MTT, 1988,36(12).

[8] Erich Wehrhahn. Hierarchical Sensitivity Analysis of Circuits[J]. IEEE Trans.on MTT, 2001,14(6).

[9] L. 0. Chua and P. M. Lin. Computer-Aided Anulvsis of Electronic MTT-34, pp. 1294-1307. 1986. MTT-35, pp.643-652, 1987.Circuits. Englewood Cliffs, NJ:Prentice-Hall, 1975.