曾 磊 ,石友安 ,孔荣宗,贺立新,桂业伟

(中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳 621000)

0 引 言

热环境地面风洞试验是考核理论计算方法,为防热设计提供依据的重要手段。地面试验的测热精度直接影响着计算方法和防热结构的选取,是决定飞行成败与否的关键因素之一。薄膜电阻温度计作为激波风洞中最常用的热流测量传感器,试验工作人员从传感器制作、标定、安装,数据采集系统的采样频率等多方面入手以提高测热试验精度。实际上,薄膜电阻温度计在试验中测量得到的电压信息(即温度值变化量),还需要通过理论分析和计算将温度信息转化为热流值。一直以来,薄膜电阻温度计的理论分析都是从一维两层介质出发,推导简化为一维半无限数学模型,再经过数值积分(Cook-Felderman公式)或热电模拟网络转化获得传感器表面热流值。但是,薄膜电阻温度计是三维的,其表面铂层内也是有温度分布的,且随着铂层温度的升高进入铂层内的热流会逐渐降低。所以,试验中测量得到的温度信息实际上是由一个时变的热壁热流引起的,这在后期的数据处理中是必须予以考虑的。

另外,目前常用的由温度变化量计算热流值所采用的Cook-Felderman公式或热电模拟网络都是基于一维半无限假设的数据处理方法。实际上,热电模拟网络的处理方法也是由Cook-Felderman公式转化而来的,这种数值积分的方法对于测试噪声有着累积和放大的效应,使得处理得到的热流值存在较大的波动。

笔者从三维薄膜电阻温度计计算模型入手,对比研究一维简化、一维半无限简化计算方法对铂层内温升规律的影响,研究热壁热流对表面温升的影响,并由此建立可行的基于热传导反问题计算方法的表面温升——热流值的计算方法,为提高测热精度提供可行的分析和数据处理手段。

1 薄膜电阻温度计热传导模型理论简化分析

(1)一维简化影响分析

薄膜电阻温度计的外形如图1,基体材料为硼硅酸玻璃(ρ=2500kg/m3,Cp=1000J/kg◦K,k=0.66W/m◦s),表面镀层的金属薄膜材料为铂(ρ=21450kg/m3,Cp=132J/kg◦K,k=71.1W/m◦s)。

图1 薄膜传感器的结构示意图Fig.1 Structure of thin film resistance thermometer

三维热传导计算采用有限元计算方法,直角坐标系下的热传导控制方程为

传感器网格如图2所示。三维计算网格中取铂层厚度为 5μ m,玻璃基体长度为 20mm,直径为3mm,为了简化计算铂层外形取为长方体。计算了不同来流热流条件下,采用三维传热计算与一维传热计算铂层内温度的分布情况,铂层厚均取5μ m,初始温度均为300K,三维传热计算时除铂层所在的上表面取恒热流边界条件外,其余面均取绝热边界条件,这与试验条件中上表面暴露在模型表面,其余各面均用航空密封泥填充的边界条件是相适应的。图3为1MW/m2热流条件下,铂层内温度对比图,由该图可见采用三维传热算法得到的铂层内温度平均值,与一维传热计算得到的铂层内温度值基本相同。同时,分别采用三维和一维传热理论计算了表面热流由85kW/m2至5MW/m2条件下,铂层内温度随时间变化规律,两者所得结果基本相同,这说明由于玻璃基体材料导热系数很小,铂层附近玻璃基体的横向传热是可以忽略的。由此可以说明薄膜电阻温度计可以作为一维问题处理。

图2 传感器网格图Fig.2 Grid of sensor

图3 铂层内温度对比图Fig.3 Comparison of temperature of film

(2)半无限简化影响分析

目前的处理方法是将薄膜电阻温度计当作一维半无限体处理,忽略铂层厚度的影响。图 4为1MW/m2热流条件下,铂层5μ m厚时薄膜传感器表面温度分布云图,可见铂层的温度是低于玻璃基体表面的温度的。图5所示为表面1MW/m2热流下,不同铂膜厚度对铂层内温升的影响。当膜厚为5、2和1μ m时,其表面温升与采用半无限假设得到的温升相差分别为8%、4%和2%。这说明随着铂层厚度的变薄,一维半无限简化理论逐渐适用于薄膜电阻温度计的传热分析。

图4 传感器表面温度分布Fig.4 Temperature distribution of sensor's surface

(3)热壁热流影响分析

之前两小节中给定的表面热流条件均为进入传感器的热流值,即为热壁热流。实际上,由测量得到的电信号(即表面温度信号)直接转换得到热流信息是热壁热流信息,需要通过转换得到冷壁热流值才能应用于后期的烧蚀试验和防热设计。热壁热流与冷壁热流的关系可以用测试风洞的总温和传感器被加热面的温度来确定,具体如公式(2)

图5 不同铂层厚度温升对比图Fig.5 Temperature in different films

图6 热壁热流对表面温升的影响Fig.6 Effect of heat flux on temperature rising

图7 表面温升对热流的影响Fig.7 Effect of temperature rising on heat flux

以中国空气动力研究与发展中心的φ 2m激波风洞为例,当T∞=58K,Ma=9时,风洞运行总温约为1000K,若给定1MW/m2的冷壁热流,考虑表面温升与热流的耦合效应,则在10ms之后进入传感器内部的热流为冷壁热流的88%,表面温升比不考虑耦合效应的情况下低了近10%。

由此可见,在使用测量得到的温度数据计算表面冷壁热流时,必须要考虑传感器结构温升与热流的耦合影响。

2 导热反问题在薄膜电阻温度计测热试验中的应用

现有的薄膜电阻温度计测热数据处理方法采用的是建立在一维半无限假设基础上的Cook-Felderman公式(公式3),以及在实际测热试验中采用的热电模拟网络,具体处理方法见文献[1]。

热流测试原理上是测量热流引起的温度变化,通过数据处理得到热流,本质上是一个热传导反问题。从数学上讲,热传导反问题属于偏微分方程逆问题,是个不适定问题。它的不适定性主要体现在不满足稳定性上,即解不连续依赖于数据,表现为微小的误差可能导致计算结果的巨大变化。由于不适定的存在,热传导反问题的求解难度比相应的正问题大得多。

对于测试数据而言,误差是无法避免的,即：Tm=Texact+ε,ε为测量误差。

分母实际上就变成了一个放大因子,对测温误差进行放大。这就是Cook-Federman公式对误差放大的原因之一。

式中符号意义：观测点的坐标 xm;测量温度Tm;辨识温度 T;误差ε。

(1)共轭梯度法(CGM：Conjugate Gradient Method)

共轭梯度法也称为迭代正则化方法,其基本思想则是将优化问题分解为热传导正问题、灵敏度问题和伴随变量问题来进行求解。

梯度的计算与伴随变量有关,伴随变量可通过求解伴随方程来获取。为得到伴随方程,首先将目标函数(4)写为如下的扩展形式

式中P称为伴随变量。对(5)式后半部分分部积分后再做变分,整理得到伴随方程

初值条件 ：t=tmax：P=0

1.2.2 对照组干预措施 在接受基础干预措施的同时，由医务人员在就医期间和门诊随诊时采取常规健康教育：包括医学营养指导、运动指导、血糖监测指导等。

整理得到,目标函数对q的梯度为

步长由下式计算

式中ΔT是由Δ q=pn引起的各时刻温度场的变化值。

在优化过程中,收敛准则根据输出误差原则获得,即

σ为测量误差的均方差,M为测点数

至此,共轭梯度法中涉及的梯度,步长均已求出,共轭梯度可由梯度、步长构造。具体优化细节可参阅文献[2]。

(2)顺序函数法(FSM：Function Specification Method)

顺序函数法是基于热传导过程具有阻尼性和延迟性提出的。它不同于共轭梯度法的全时间域估计,而是按时间顺序估计表面热流。用此方法辨识未知热流q(t)时,问题可以描述成：已知tM时刻的前M-1个时刻处的热流q1,q2……qM-1和后r个时刻的温度值TM,TM+1,……RM+r-1,辨识tM时刻的热流qM。因此,辨识qM时,对应的正问题应该体现在时间域[tM-1,tM+r-1]内的热传导过程。选取如下目标泛函

由热传导过程的延迟性可知,T(tM+n)不仅取决于qM+n,还取决于qM+1,qM+2……qM+n-1,因此,为了辨识qM,必须假设它们的值。现假设各边界点上qM至qM+r-1是线性变化的,当时间间隔是常数时,即

则目标函数式(10)仅为qm的函数,关于qm求导,即得到辨识值

至此,辨识边界热流时序值的顺序函数法已经完全建立。基本步骤是在时间方向上按顺序向后推进辨识。根据初始q0和 T0,辨识得到 q1和 T1。它们又作为辨识下一时刻q2的初始条件,重复上述步骤进行辨识。依此类推,即可得到q(t)。

(3)不同方法的对比分析

应用Cook-Felderman公式计算方法、共扼梯度法、顺序函数法对中国空气动力研究与发展中心的φ 2m激波风洞某车次测热试验数据进行了处理分析,并考虑第一小节中热壁热流的影响。

如图8所示,采用Cook-Felderman公式计算得到的热流数据波动相对较大,且在0.02s之后计算热流值与导热反问题计算得到热流值相差较大。且由于薄膜传感器镀膜厚度很薄(＜1μ m),所以Cook-Felderman公式计算结果并没有出现明显的滞后现象。

图8 不同测热数据处理方法比较Fig.8 Comparison between different data processing methods

图9为以数据处理后得到的热流值为边界条件,计算得到的传感器表面温升情况。由图可见在全时间域内,共扼梯度法反算得到的温度值与实测温度值都有很好的吻合,而Cook-Felderman方法反算得到的温度值在0.02s之后明显高于实测值,这是由于Cook-Felderman公式本身有对误差积累和放大的作用。

图9 反演热流再计算温度对比Fig.9 Comparison between different temperatures

图10为热壁热流效应对采用顺序函数法辨识表面热流值的影响。由图可见考虑表面温升对热流的影响后,在15～20ms时间段内,温升为 20～30K的情况下,得到的传感器表面冷壁热流比热壁热流高近5%。由(2)式可知,随着表面温度的升高,冷壁热流与热壁热流相差越来越大。同时,公式2也是用于对Cook-Felderman方法和共扼梯度法计算得到的热流值的修正。

图10 热壁热流效应影响Fig.10 Effect of hot-wall heat flux

3 小结与展望

(1)通过对比计算,薄膜电阻温度计的数据处理采用一维半无限假设是合理的。当膜厚小于1μ m时,一维半无限模型和三维计算模型得到的结果相差不到2%;

(2)采用导热反问题计算得到的热流结果与采用Cook-Felderman方法得到的结果在趋势上很相似。虽然Cook-Felderman方法得到的结果波动较大,但对于激波风洞测热来说有效数据一般取在15～20ms相对平滑的阶段,且取该时间段的平均值,其有效热流值结果与导热反问题计算结果基本符合。同时,Cook-Felderman方法的计算时间也比反问题的计算略短,可以很快地处理大量的测热数据;

(3)导热反问题计算方法具有良好的抗噪性和适定性,可以有效地获得平滑的热流数据,有利于反映热流随时间的变化规律,对于辨识时变的热流值有一定的优势;

总之,采用Cook-Felderman方法处理薄膜电阻温度计在脉冲式风洞中测量得到的温度信号是可行的,但测量传感器必须符合一维半无限假设条件。热传导反问题的计算方法计算时间相对较长,适用于处理较长时间的时变热流值。另外,反问题的计算方法可以推广至轴对称或多维的情况,适用于处理结构相对复杂的传感器测量得到的温度信号(如同轴热电偶热流传感器),或大面积测热数据。

[1] 张志成,刘初平,孔荣宗,等.高超声速气动热和热防护之再入飞行器热环境地面试验[M].北京：国防工业出版社,2002.

[2] 解可新,韩健,林友联.最优化方法[M].天津：天津大学出版社,1997.

[3] 曾磊,桂业伟,贺立新,等.镀层式同轴热电偶数据处理方法研究[J].工程热物理学报,2009,4：661-665.

[4] ALIFNOV O M.Inverse heat transfer problems[M].Springer-Verlag,Berlin,1994.

[5] BECK J V,BLACKWELL B,HAJI-SHEIKH A.Comparison of some inverse heat conduction methods using experimental data[J].Heat Mass Transfer.1996：3649-3657.

[6] JONES D P,PAT EL D K,ALEXANDER C.Numerical determination of surface temperature for in-depth thermocouples[R].AIAA-84-1763.