余世群

(1.北京师范大学 数学科学学院，北京 100875；2.湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

作为代数学领域研究的一个重要课题，矩阵和线性空间的分解理论与方法在工程技术中有重要的应用价值.本文主要研究了一类线性变换的值域分解问题，这对于线性变换空间的分解、矩阵的准对角形分解等问题的研究提供了理论依据.

为方便计，本文用V表示数域F上的线性空间(不一定是有限维的)；f(x)为数域F上的多项式；f(σ)V为线性变换f(σ)的值域，即f(σ)V={f(σ)α|α∈V},ε表示线性空间的恒等变换.其它未经说明的术 语和记号参考文献[1].

1 主要结论

定理1 设σ为数域F上线性空间V的一个线性变换，f(x)、g(x)和h(x)都是数域F上的多项式.若h(x)=f(x)g(x),且(f,g)=1,则h(x)为σ的零化多项式，即：h(σ)=0⟺V=f(σ)V⊕g(σ)V.

证明必要性：设h(σ)=0,即f(σ)g(σ)=0.由于(f,g)=1,所以∃u(x),v(x)使得:

f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

于是有：

f(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)=ε.

从而，∀α∈V,有：

a=[f(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)]α=f(σ)u(σ)α+g(σ)v(σ)α.

因为f(σ)u(σ)α∈f(σ)V,且g(σ)v(σ)α∈g(σ)V,又由α的任意性，可得：

V=f(σ)V+g(σ)V.

进一步，若∃β∈f(σ)V∩g(σ)V,则必有:β1,β2∈V,使得:β=f(σ)β1=g(σ)β2.从而：

β=f(σ)u(σ)β+g(σ)u(σ)β=f(σ)u(σ)g(σ)β2+g(σ)v(σ)f(σ)β1=

u(σ)h(σ)β2+v(σ)h(σ)β1=0.

这表明f(σ)V∩g(σ)V={0},即：

V=f(σ)v⊕g(σ)V.

充分性：设V=f(σ)V⊕g(σ)V，则有：f(σ)V∩g(σ)V={0}.

从而：∀α∈V,有：

h(σ)α=f(σ)g(σ)α=f(σ)[g(σ)α]∈f(σ)V，

h(σ)α=f(σ)g(σ)α=f(σ)[g(σ)α]∈g(σ)V.

于是，h(σ)α∈f(σ)V∩g(σ)V={0},即h(σ)α=0,再由α的任意性可知：h(σ)=0,证毕.

显然，由定理1直接可得下列推论：

推论1[2]设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换，则：σ2=σ⟺V=σV⊕(ε-σ)V，

其中ε是恒等换变.

推论2[2-6]设σ是数域上线性空间V的一个线性变换，则：σ2=ε⟺V=(ε-σ)V⊕(ε+σ)V，

其中ε是恒等换变.

如果考虑到线性空间的维数，那么，还可得下面的推论：

推论3 设f(x)、g(x)都是数域F上的多项式，且(f,g)=1,σ是数域F上n维线性空间V的一个线性变换，则f(σ)g(σ)=0的充要条件是r(f(σ))+r(g(σ))=n,其中r(f(σ))表示线性变换f(σ)的秩.

证明由定理1得：f(σ)g(σ)=0⟺V=f(σ)V⊕g(σ)V⟺r(f(σ))+r(g(σ))=n.

定理2 设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换，f1(x),f2(x),…,fm(x)都是数域F上的多项式，且(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1.若h(x)=f1(x)f2(x)…fm(x),则：

h(σ)=0⟹V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.

证明设h(σ)=0,因为(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1,所以存在u1(x),u2(x),…,um(x)使得：

u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+um(x)fm(x)=1.

由上式可得：

u1(σ)f1(σ)+u2(σ)f2(σ)+…+um(σ)fm(σ)=ε.

于是，∀α∈V,有：α=u1(σ)f1(σ)α+u2(σ)f2(σ)α+…+um(σ)fm(σ)α.

由于u1(σ)f1(σ)α∈f1(σ)V,u2(σ)f2(σ)α∈21(σ)V,…,um(σ)fm(σ)α∈fm(σ)V,

并由α的任意性，得：

V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.

推论4 设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换，f1(x),f2(x),…,fm(x)都是数域F上两两互素的多项式，则：

f1(σ)f2(σ)…fm(σ)=0⟹V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.

证明由于f1(x),f2(x),…,fm(x)都数域F上两两互素的多项式，则在F上必有：

(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1.

由定理2，即得此结果.证毕.

致谢：感谢蔡俊亮教授的悉心指导！

参考文献:

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]张树青.线性空间的幂等变换与对合变换的几种等价表示[J].烟台师范学院学报，2004，20(1)：4-5.

[3]樊恽，钱吉林，岑嘉评，等.代数学辞典[M].武汉：华中师范大学出版社，1994.

[4]赵峰，马巧灵，陈勇.一类线性变换的核分解[J].济南大学学报，2003，17(2)：136-137.

[5]韩清.若干矩阵乘积的秩的下界[J].佛山科学技术学院学报：自然科学版，2003，21(1)：9-11.

[6]余世群.一类极大临界h连通网的结构[J].湖北民族学院学报：自然科学版，2006，24(2)：133-136.