满 娜，徐庆强

(徐州师范大学物理与电子工程学院，江苏徐州221000)

0 引言

2004年，英国曼彻斯特大学的安德烈·K·海姆(Andre K.Geim)等成功的制备出了石墨烯［1］。石墨烯的特殊的物理性质使其成为凝聚态物理的研究热点，也引发了全世界的研究热潮，并且取得了一系列的进展，例如，2008年制造出了高质量的石墨烯，以石墨烯为基础，一种突破性材料石墨烷也于2009年被制造出来，同年，氮掺杂石墨烯也产生了［2，3］。马里兰大学研究人员最新发现，石墨烯中的电子迁移速度比硅的快100多倍，这一特性让它极有希望取代传统的硅成为下一代半导体材料，广泛用于从高速计算机芯片到生化传感器的各个方面。近来，石墨烯带也被广泛地制备［4］，IBM的研究员展示了一种由石墨烯材料制作而成的石墨烯场效应晶体管(FET)，它的运行速度可以超过100GHz［5］，所以石墨烯有比较广泛的应用前景。较之其他半导体，石墨烯有很多优势，但就目前条件来讲，大规模的制造石墨烯还存在一定难度，但是我们相信在不久的将来石墨烯能被大规模制备且得到应用。

石墨烯显著的性质直接来自于它特有的电子结构和蜂巢晶格的对称性。两个实验［6，7］已经表明，如果载流子的密度趋近于0，石墨烯的电导率将趋近于以e2/h为单位的一个极小值。这个量子极限化的电导率是二维狄拉克费米子的固有属性，这适合于没有杂质和晶格缺陷的石墨晶格［8－10］。对于纯净的石墨烯，当电荷流垂直入射的时候，其透射率是1，随着入射角度的增加，透射率明显的降低了。存在无序或是超晶格势的时候，有些条件下可能有后向散射，有效地把时间反演对称性和能带拓扑学结合起来，那么在垂直入射的时候不会有散射出现［11－17］，可以从理论角度加以分析。在没有狄拉克费米子［18］散射的时候，石墨烯将为二维量子输运提供一种新的研究领域［19－21］。

在实验上，可利用图1展示的双端电导测量器件(其中，石墨烯带的宽度为W，两个电极之间的长度为L)，比较清楚的显示束缚态的存在。此种装置中间有限的非掺杂石墨烯样品把两个石墨烯电极分离开来，并且呈现出一个有效的势垒(仅仅是有效的势垒，是因为非掺杂石墨烯的电导是4e2/πh，而不是0)。我们把偏压所在区域定义为一个量子点，在此量子点中载流子的密度不为0。如果量子点大致位于两个电极之间，最终量子点中的束缚态将会随着量子点中偏压的改变，以共振的形式呈现在电导上。既然只有规则的量子点可以支持束缚态的存在，那么在双端电导测试装置中显示的尖锐共振峰就给出了在石墨量子点中的动力学可积的实验特征。有人对连续型模型的石墨烯带进行了研究［22］，而且这种装置被用于把非掺杂石墨烯单层的电导与一个存在栅极电压的小区域(栅极区域的动力学是规则的圆盘状和混沌的体育场形)的电导相比较，并且得到了一个结论，对于圆盘状量子点来讲，随着栅极区域面积比例的减小，将会出现窄的尖锐的共振峰，对于体育场形的量子点来讲，电导并不随着栅极面积比例变化而有太大的改变。

图1 一个能证明束缚态存在的双端电导测试器件

本文研究采用的是紧束缚模型，利用与文献［23］相类似的方法，用图1中所示的装置进行数值模拟。首先计算无掺杂石墨烯量子点中的电导，对于两个金属电极，我们用重掺杂的石墨烯来模拟。这个格点模型适用于晶格点数是有限的情况，连续型模型计算方法适用于不考虑单个格点对实验结果的影响。接着我们对圆形量子点和体育场形量子点中的电导进行了研究，并把得出的结果与文献中的连续型模型进行了对比。我们得出在格点模型中，由于点数较少，其圆形量子点中的电导峰的位置有偏移，而体育场形的量子点的电导基本上一致。除此之外，我们还对矩形量子点的电导进行了分析，得出结论是可能会出现束缚态，而且同样尺寸的矩形量子点翻转一定角度比没有翻转的更容易产生电导共振。

1 电导计算的描述

我们用坐标(i，j)来标记格点位置，设晶格常数为a，各向同性的最近邻的传输积分为 －t，表示如下:

H是哈密顿量，其对角元素由下式给出:

其中v(l，j)表示栅极中格点的势能。

图2 由N个纵向单元组成的锯齿形石墨烯带

首先，我们考虑一个在x方向为无穷长，在y方向有N个格点的情况。如图2所示，我们可以写出运动方程:

其中Cj是用来描述M个格点的振幅，P是一个对角元素为1的M×M的矩阵。H1和H2分别是用来描述第j个单元和第j+1个单元的哈密顿量，并且都是M×M的矩阵。我们把它们分别定义成:

式中vt是第l个格点的势能。为了计算简便，我们设上述矩阵中的元素t的值为1。为了得到方程(3)的线性非独立解我们可设:

由此我们得到了本征值方程:

波数k与λ有关，方程(9)有2M个本征值和2M个本征矢，并且都被分成M个右行解和M个左行解，在x负方向，M个左行解组成了速度和本征波成指数衰减的渐进波。类似的，在x正方向，M个右行解也组成了速度和本征波成指数衰减的渐进波。

对于C0来说，我们设其左行解为u1(－)、…、uM(－)并与 λ1(－)、…、λM(－)相对应，右行解u1(+)、…、uM(+)与 λ1(+)、…、λM(+)相对应，且定义:

一般来讲，U(±)不是一个单位矩阵。考虑到散射情况，我们把振幅C0分为右行(入射)解和左行(反射)解:

根据方程(13)，我们可以把－1点的格点的振幅写出来:

接着我们可以得到:

由此可以得出在0点的运动方程:

因为只有右行波可以存在在N+1个单元，因此我们可以得到:

注意到HN+1=H0，且也不是哈密顿量。我们定义格林函数为:

由上面的方程我们可以得到对应于速度为Vv的入射通道v和速度vμ的出射通道μ的透射系数tμv:

根据朗道公式［24］多通道方程［25］，电导可以写成:

2 几种不同形状的量子点的电导

我们首先考虑在x方向有N个单元组成的锯齿形石墨烯带，根据文献［24］，这种双端结构的输运性质的哈密顿可以写成:

图3 石墨烯带中圆形量子点的电导与V0R的关系

式中m=(l，j)，在0 ＜x＜L、0 ＜y＜W的范围内Ulead的值为0，其他地方的值较大，Vm是格点空间的栅极势能，在所定义的量子点中Vm的值为V0(不为0)，样品中的其他部分Vm=0。对于格点模型，我们可以把比率W/L用含有N和M的式子来表示。M是y方向的格点数，根据本文研究的石墨烯带，即有我们在图1中设置一个小的圆形区域并且假设其内部栅极势能不为0，外部势能为0。如果设碳碳键长为a，圆形区域的半径为R，那么我可以取R=4a(圆形区域不在带的中间)。根据文献［26］可知，当W/L的比值较大时，如果杂质(本文相当于在样品中增加了一个无序)的面积较大时，其无序性带来的电流的减弱可以由边缘态产生的电流来补偿，所以当比例较大时，其无序所在样品中的位置对于其电导影响不是太明显。在图3中，M的值取60，N分别为20和26，我们给出了非掺杂石墨烯带的电导与V0R=5的关系图像。把得到的结果与文献［22］中结果相比较，我们可以发现在V0R=5处有尖锐的共振峰出现，把此种现象与束缚态的存在相联系，V0R=5处可能会出现束缚态。

在文献［22］中，体育场形的量子点是一个典型的混沌量子点，并且给出了石墨烯带的电导峰位置与栅极区域的比例面积减小无关的结论。图4中，我们也给出了格点模型中体育场形的量子点电导与V0R的关系，通过分析我们也可以得到了类似的结论，在这种量子点中可能不会出现束缚态。

本文接下来是研究长方形的量子点。如图5所示，我们把长方形旋转30度，并且把两个大小不同的长方形量子点的电导进行了比较。我们取N=22，M=60，两个长方形量子点区域的尺寸分别为通过分析我们可得到在V0R=7处有尖锐的电导共振峰。与文献［23］中的结果相比较，我们可以得到共振峰的位置有个小的偏移。

图4 体育场形量子点中G与V0R的关系，其中

图5 旋转后尺寸为b×1.2b的长方形量子点中G与的关系

图6 尺寸为b×1.2b的量子点在旋转前后G与V0R的关系，其中M=60

3 结论

本文我们给出了计算格点模型电导的一种方法，从计算可知电导呈现量子化，并且给出了几种不同形状的量子点的电导，我们得到了一些结论:①对于圆形区域，在V0R=5处可能会出现电导共振;②对于体育场形电导，可能不会出现尖锐的共振峰;③对于长方形的量子点区域来讲，在V0R=7处有可能会出现束缚态;④ 旋转后的方形区域更容易出现电导共振峰。

［1］K.S.Novoselov，A.K.Geim，S.V.Morozov，etal.E-lectric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films［J］.Science，2004，306:666－669.

［2］D.C.Elias，R.R.Nair，T.M.G.Mohiuddin，etal.Control of graphene’s properties by reversible hydrogenation［J］.Science，2009，323:610－613.

［3］Wei D C，Liu Y Q，Wang Y，Zhang H L，etal.Synthesis of N－Doped Graphene by Chemical Vapor Deposition and Its Electrical Properties［J］.Nano lett.，2009，9:1752－1758.

［4］Wei D C，Liu Y Q，Wang Y，Zhang H L，etal.Scalable Synthesis of Few－Layer Graphene Ribbons with Controlled Morphologies by a Template Method and Their Applications in Nanoelectromechanical Switches［J］.Soc.，2009，131:11147－11154.

［5］Y.M.Lin，C.Dimitrakopoullos，K.A.Jenkins，etal.100 GHz Transistors from Wafer Scale Epitaxial Graphene［J］.Science，2010，327:662－662.

［6］K.S.Novoselov，A.K.Geim ，S.V.Morozov，etal.Two－Dimensional Gas of Massless Dirac Fermions in Graphene［J］.Nature，2005，438:197－200.

［7］Zhang Y B，Tan Y W，H.L.Stormer，etal.Experimental Observation of Quantum Hall Effect and Berry’s Phase in Graphene［J］.Nature，2005，438 201 －204.

［8］ K.Ziegler.Delocalization of 2D Dirac Fermions:the Role of a Broken Supersymmetry［J］.Phys.Rev.Lett.，1998，80:3113－3116.

［9］N.M.R.Peres，F.Guinea，A.H.Castro Neto.Electronic Properties of Disordered Two－Dimensional Carbon［J］.Phys.Rev.B，2006，73:125411 －125434.

［10］M.I.Katsnelson.Conductance quantization in graphene nanoribbons:Adiabatic approximation ［J］.Eur.Phys.J.B，2007，57:225 －228.

［11］T.Ando，T.Nakanishi，R.Saito.Berry＇s Phase and Absence of Back Scattering in Carbon Nanotubes［J］.J.Phys.Soc.Jpn.，1998，67:2857 －2862.

［12］V.V.Cheianov ，V.I.Falko.Selective transmission of Dirac electrons and ballistic magnetoresistance of n－p junctions in graphene ［J］.Phys.Rev.B，2006，74:41403－41406.

［13］ M.I.Katsnelson，K.S.Novoselov，A.K.Geim.Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene［J］.Nature Phys.，2006，2:620 －625.

［14］C.W.J.Beenakker.Andreev reflection and Klein tunneling in graphene［J］.Rev.Mod.Phys.，2008，80:1337 －1354.

［15］S.R.Yu，C.Mudry，H.Obuse，etal.Z2 topological term，the global anomaly，and the two－dimensional symplectic symmetry class of Anderson localization ［J］.Phys.Rev.Lett.，2007，99:116601 －116604.

［16］K.Nomura，M.Koshino，S.R.Yu.Topological delocalization of two－dimensional massless Dirac fermions［J］.Phys.Rev.Lett.，2007，99:146806 －146809.

［17］J.H.Bardarson，J.Tworzydo，P.W.Brouwer，etal.Demonstration of one－parameter scaling at the Dirac point in graphene ［J］.Phys.Rev.Lett.，2007，99:106801－106804.

［18］T.Ando，T.Nakanishi，T.Saito.Berry＇s Phase and Absence of Back Scattering in Carbon Nanotubes［J］.J.Phys.Soc.Jpn.，1998，67:2857 －2862.

［19］A.H.Castro Neto，F.Guinea，N.M.R.Peres.Edge and Surface States in the Quantum Hall Effect in Graphene［J］.Phys.Rev.B，2006，73:205408 －205415.

［20］A.K.Geim，K.S.Novoselov.THE RISE OF GRAPHENE［J］.Nat.Mater.，2007，6:183 －191.

［21］ M.I.Katsnelson，K.S.Novoselov.Graphene:new bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics［J］.Solid State Commun.，2007，143:3－13.

［22］J.H.Bardarson，M.Titov，P.W.Brouwer.Electrostatic confinement of electrons in an integrable graphene quantum dot［J］.Phys.Rev.Lett.，2009，102:226803－226806.

［23］ T.Ando.Quantum point contacts in magnetic fields［J］.Phys.Rev.B 1991，44:8017 －8027.

［24］ J.Tworzydo，B.Trauzettel，M.Titov，etal.Sub －Poissonian Shot Noise in Graphene ［J］.Phys.Rev.Lett.2006，96:246802 －246805.

［25］M.V.Berry，R.J.Mondragon.Neutrino Billiards:Time－Reversal Symmetry－Breaking Without Magnetic Fields［J］.Proc.R.Soc.A，1987，412:53 －74.

［26］Liviu P.Zarbo，Branislav K.Nikolic.Spatial distribution of local currents of massless Dirac fermions in quantum transport through graphene anoribbons ［J］.Europhys.lett.，2007，80:47001 －47006.