邓 磊，乔志德，杨旭东，熊俊涛

(1.西北工业大学翼型、叶栅空气动力学国家级重点实验室，陕西 西安 710072;2.机械与航空与太空工程系，加州大学欧文分校，CA 92697-3975)

0 引言

自人类实现动力飞行之后，减小阻力一直是飞行器设计的重要课题之一。20世纪30年代之后，自然层流(NLF)翼型的研究和设计引起了研究者的很大的兴趣，如 NACA6-系列翼型［1］及其后发展的 NLF(1)-0414F［2］和 NLF(1)-0415F［3］等。

自然层流翼型的设计方法可以分为两类:一种是由压力或者速度分布的反设计方法［4-6］。这种方法计算量小，但是难点是目标压力分布的设计且不一定有一个合适的翼型对应目标压力分布，另外也难以进行多点/多目标的设计。另一种数值优化方法［7-9］却可以克服反设计中的这些困难。数值优化方法可以用于满足某些气动或者外形约束条件的设计中，这些约束使设计目标满足的同时而不损失其他重要的特性。数值优化设计方法可以进行多点/多目标的设计，缺点是计算花费大，特别是进行更多设计变量和非线性优化时尤为突出。

基于响应面方法［10］的优化算法由于其高效、实用的特点广泛使用于各个领域。响应面模型一般使用二阶多项式，如果使用完全的二阶多项式则构造模型所需的试验次数和设计变量个数的平方成正比，限制了设计变量的个数。而如果使用不含二阶交叉项的简化模型，则可以大大减少构造模型需要的试验次数，使进行更多设计变量优化成为可能。以前的研究多将此方法应用于跨音速和超音速的翼型优化中［11-14］。

在进行单设计点优化中，在设计点上设计变量常常可以得到很好的优化而在非设计点翼型性能会迅速变差。为此常需要第二设计点乃至第三设计点等，以保证在优化设计中非设计点的性能。本文由单点/单目标优化设计开始，分析了设计翼型性能的气动性能，并在此基础上选择第二及第三设计点，并进行了多点/多目标的优化设计。

1 流场分析和转捩位置计算

在优化设计中，构造响应面模型需要大量的流场计算，带来巨大的计算花费。本文流场分析程序使用XFOIL［15］，对于粘性流体其采用了面元的方法和边界层理论，计算快捷方便，适合于低速翼型的快速分析和设计。本文使用XFOIL程序来进行流场分析和转捩位置的计算，大大减小了计算时间。文献［16］用XFOIL计算了NLF(1)-0416和NLF(1)-0215F翼型并和试验结果进行了比较，指出XFOIL程序可以用于优化设计中计算不同外型的翼型气动性能。本文的设计结果也证明了这一点。

2 数值优化方法

2.1 响应面方法

响应面方法是采用试验设计理论，对给定的设计点集合进行试验，得到目标函数的响应面模型，来预测非设计点的响应的值。如果采用完全的二阶多项式作为响应面模型，则可以表述为:

其中:nv为设计变量数;ns为试验次数，一般取为模型包含项数 的1.5 ～3倍［17］。由式(1)可以看出，nrc=(nv+1)(nv+2)/2，即ns与nv的平方成正比。比如如果进行26个设计变量的优化设计，则构造一次响应面模型需要计算流场700次左右，大大限制了进行多设计变量和多设计点设计的可能。

如果采用不含二阶交叉项的简化模型。则模型可以描述为:

可以看出，nrc=2nv+1，如同样进行26个设计变量的优化，构造简化模型只需计算流场80次左右，大大减小了试验次数［12］。完全多项式模型和简化模型均可以用最小二乘法来求解;试验设计满足D-优化准则，这种试验设计准则广泛用于科研与生产实际中［18］。

2.2 设计变量

翼型外形的变化扰动是通过基本形函数bk的线性组合来实现的:

其中:δk取值(-1，0，1)，γk为设计变量控制因子，δkγk为控制变量;bk为形函数，在控制点xk处取最大值。

本文的研究中，共有26个设计变量，上下表面各13个，其 x 方向位置分别为:0.03，0.06，0.13，0.20，0.27，0.40，0.50，0.60，0.73，0.80，0.87，0.94，0.97。

bk定义为［16］:

2.3 目标函数

一般的优化问题可以描述为［19］:

对多点/多目标优化时，本文通过“统一目标函数”的方法，将多个目标函数统一到一个目标函数中:

其中:f为统一目标函数，q为分目标的个数，ωj为第j项指标根据其重要性给出的权值，frj为第j项指标通过“转化设计目标法”计算的无量纲目标函数值，在(0～1)之间。权值的选择，可能对结果有较大的影响。

构造完响应面模型并形成适当的最优化问题之后，就需要用数学规划来求出优化解。本文使用BOX复合形搜索法［20］来进行搜索，这种方法对带约束的优化问题有很好的鲁棒性。

3 结果及分析

本文使用简化的二阶多项式模型，上下表面共26个设计变量，构造一次响应面模型计算流场80次。以NLF(1)-0416和Eppler387为原始翼型，进行高升阻比优化设计，并要求设计翼型最大厚度不小于原始翼型。

3.1 NLF(1)-0416单设计点/单设计目标设计

首先进行基本设计点的单设计点的设计，目标函数:最大化(CL/CD)。设计状态为:M1=0.3，基于弦长的 Re1=6×106，CL不小于 0.6，选择设计迎角 α =1°。图1为优化前后翼型压力分布和外形的比较，可以看出CL有所增加，翼型外形变化不大，厚度基本保持不变。图2为翼型特性比较，可以看出在设计点上，翼型的CL、CD及CL/CD均得到了改善，特别是CL/CD的最大值可以达到220左右，但在非设计点，如 CL＜0.6和CL＞1.4时翼型性能比原始翼型差。同时从转捩位置的曲线上可以看出，上表面转捩位置均好于原始翼型，下表面转捩位置在设计点之前差于原始翼型，而这个位置和阻力差于原始的位置相吻合，也说明了自然层流翼型的阻力特性中转捩位置的重要性。

3.2 NLF(1)-0416两设计点/两目标设计

图1 单点设计翼型外形和压力分布比较Fig.1 Comparison of airfoil shape and pressure for single-point design

图2 单点设计时翼型性能比较Fig.2 Comparison of the performance for single-point design

为改善3.1中，大攻角时的升力特性，增加第二个设计点:M2=0.16，Re2=3 ×106，α2=12°，目标函数:最大化(CL)。两个设计点权值分别为0.6和0.4。图3为翼型压力分布和外形的比较。可以看出外形的变化小于3.1中的设计结果。图4为设计翼型和初始翼型的性能比较。可以看出，大攻角时升力系数特性明显改善，阻力系数在第一设计点之后和原始翼型变化不大，升阻比系数优化的幅度小于3.1。同时可以看出当CL＜0.4时，阻力系数相较于原始翼型增加。

3.3 NLF(1)-0416三设计点/三目标设计

为改善3.2中CL之前的阻力特性，增加第三设计点 M3=0.4，Re2=6 ×106，α3=-2°，目标函数:最小化(CD)。三个设计目标权值分别为0.5、0.3和0.2。图5为压力分布和翼型外形比较。可以看出设计翼型的下表面和原始翼型基本吻合，外形的变化主要在上表面。图6为翼型特性比较。可以看出，升力增加的幅度变小，而只在CL＞0.2时，阻力大于原始翼型;力矩系数比原始翼型稍有增加;上表面的转捩位置明显优于原始翼型。将3.1～3.3设计翼型在第一设计点时的气动性能总结如表1。

图3 两点设计第一设计点翼型和压力分布比较Fig.3 Comparison of airfoil shape and pressure distribution at condition I for two-point design

图4 两点设计第一设计点状态时翼型性能比较Fig.4 Comparison of the performance at condition I for two-point design

图5 三点设计第一设计点翼型和压力分布比较Fig.5 Comparison of airfoil shapes and pressure distributions at condition I for three-point design

图6 三点设计第一设计点状态时翼型性能比较Fig.6 Comparison of the performance at condition I for three-point design

表1 设计结果在第一设计点时的性能比较Table1 Comparison of aerodynamic performance at condition I

为验证本文设计方法，对三点设计结果和初始翼型作了CFD计算，计算网格448×112，壁面网格320，尾迹64，第一层网格距壁面1×10-6，湍流模型为S-A模型，转捩位置使用Xfoil计算的转捩位置;计算状态M=0.3，Re=6×106。图7为CFD计算结果，可以看出，在升阻比优化的同时，升力特性和阻力特性均得到了改善，但是力矩系数比初始值要大。

图7 NLF(1)-0416翼型优化结果CFD计算比较Fig.7 Comparison of CFD results of NLF(1)-0416 and new designed airfoil

3.4 Eppler387翼型优化设计

Eppler翼型在低雷诺数时上表面中部会出现分离气泡［21］。本文以Eppler387翼型作为初始翼型，进行低雷诺数低马赫数的升阻比优化设计，并保持翼型的最大厚度不变。

设计状态:M=0.13，Re=0.46×106

设计点、目标函数和权值如下:

图8为翼型外形和第一设计点时压力分布的比较，设计翼型最大相对厚度0.09%，与初始翼型相同，由压力分布可以看出，新翼型推迟了层流分离气泡的产生。图9为翼型气动性能比较。设计翼型的升力系数比原始翼型有较大的增加，同时阻力系数在升力系数大于0.4之后也得到了优化;上表面转捩位置得到了改善，升力系数0.4之前的阻力增加是由于下表面转捩位置差于原始翼型造成的，力矩系数比原始翼型有所增加。升阻比在第一设计点由94.4增加到117.9，第二设计点是最大升阻比则由112.3增加到129.2。

图8 Eppler翼型优化第一设计点翼型和压力分布比较Fig.8 Comparison of airfoil shapes and pressure distributions at condition I for three-point design

图9 三点设计第一设计点状态时翼型性能比较Fig.9 Comparison of the performances at condition I for three-point design

4 结论

1)本文提供了一个有效、实用的多点/多目标自然层流翼型高升阻比优化设计的方法。从设计结果可以看出，XFOIL可以进行有效地应用于翼型优化设计中，大大减小了计算花费。

2)本文将响应面方法成功地用于自然层流翼型的高升阻比优化设计中。简化模型减小了构造模型中的试验次数。

3)分析了由单点设计的结果提出第二、第三设计点和目标函数的方法。计算了设计翼型和原始翼型的气动性能，比较了单点设计和多点设计结果，证明第二、第三设计点有效地保证了设计结果在非设计点的性能。

4)Eppler387翼型设计表明，本文的方法在升阻比优化的同时，推迟了上表面层流分离气泡的产生。

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