张娅妮 何 晖

(西南大学科学教育研究中心 重庆 400715)

在稳恒场中存在着大量的复杂边界问题，常采用保角变换，使边界简单化、规范化;而且为了进一步简化稳恒场的分析和计算，还常引入像电荷、像电流等物理量．线电荷与椭圆介质圆柱的电势就是比较常见的一种复杂边界问题．本文求解线电荷与接地椭圆柱介质系统的电势，所采用的方法是，先由儒阔夫斯基变换将椭圆变换为圆，同时找出与椭圆柱轴平行的线电荷所在位置，变换前后点与点的对应关系，接着用镜像法求得问题的解．

1 保角变换

如图1所示，设有介电常量为ε1无限长直椭圆柱介质与平行线电荷系统置于介电常量为ε2的无限大均匀介质中．

图1 线电荷与椭圆柱介质系统

椭圆柱介质的任一横截椭圆面的长、短半轴分别为a和b，半焦距为c，平行线电荷单位长度的电荷量为λ，图中P(x0，y0)是平行线电荷在截面中的位置，Q(x，y)为截面中椭圆外的任意点．由于无限长直椭圆柱介质与平行线电荷的电势在任意横截面上的情况都是相同的，因此可以转化为二维场的问题．

图2 同心族

利用儒阔夫斯基变换［1］的圆．

令 z=x+iy ω=Reiψ

则z平面上的点P(x0，y0)变为ω平面上的点P'，且

假设过点P(x0，y0)点的共焦椭圆方程满足可将z平面上的共焦椭圆族变成ω平面上的同心族，如图2所示．图1中的椭圆变为ω平面上半径为

解得

则ω平面上线电荷所在位置的半径和辐角分别为

同理，对于z平面中椭圆外的场点Q(x，y)，可变为ω平面上的圆，其中

2 线电荷与介质椭圆柱的电势分布

用镜像法求解特定条件的电势分布的关键在于确定镜像电荷的位置和镜像电荷的电荷量．因此用镜像法求解某区域的电势时，应在所求电势区域外部的适当位置上，设想有像电荷，这个像电荷不改变所求电场区域内的电荷分布，并且像电荷在所求空间产生的电场与边界上极化电荷所产生的电场等效［2］．因此在计算介质椭圆柱内的电势时，镜像电荷必在圆柱外，可设在介质椭圆柱外q1处有一镜像线电荷q1'，以q1'代替圆柱表面的极化电荷的作用，并将整个空间视为介电常量ε1的均匀介质．同理，计算介质圆柱外的电势时可设圆柱内部有一线电荷q1″，并设q1″位于q1与圆柱轴线O的连线上，距离O为r'处，同时考虑到介质圆柱极化电荷的净电荷为零，故在计算介质圆柱外的电势时还应假设在圆柱轴线上有镜像电荷 － q1″(图 3)．易求得［3］

图3 镜像电荷的位置

于是得到介质椭圆柱内、外的电势分布为

3 讨论

3． 1 线电荷与导体椭圆柱系统的电势分布

故利用(4)式可以很容易得到线电荷与导体椭圆柱系统的电势分布．将(4)式代入(2)式得到

这就表明导体椭圆柱的电势是常量，等于导体椭圆柱上的电势．

3． 2 无限长的线电荷与无限大的电介质分界面

由前面所得到的线电荷与介质椭圆柱系统的电势分布，当a→∞，b→∞ 时，椭圆柱面就过渡到平面，处于椭圆柱轴上的像电荷－q1″所激发的电场就可以忽略．

如图4所示，设两介质分界面为yO'z平面．

式(5)即是导体椭圆柱外介质中的电势分布．由该式可知椭圆柱导体外的电势由位于(r0，0)的q1和位于

图4

则x＜0左半空间的电势是

关于 x＞0右半空间的电势，由于 a→∞，b→∞，则位于椭圆柱轴线上的 －q1″距分界面无限远，其对电势的贡献可以略去，于是可以得到x＞0右半空间的电势为

综上所述，利用保角变换可以将椭圆柱化为熟悉的圆柱;再利用镜像法求出线电荷与椭圆柱介质系统的电势．这种方法比较简便易行．对结果的近一步讨论，可以得到线电荷在导体椭圆柱外和线电荷在两种无限大均匀介质中的电势分布．

1 周希郎．电磁理论中的应用数学基础．南京:东南大学出版社，2006．271 ～ 272

2 郭硕鸿．电动力学．北京:高等教育出版社，1997．70～71

3 刘迈，苏景顺，王树平．线电荷和介质圆柱系统的电势分布．大学物理，2010，29(03)