陈小惠， 唐 烁

(合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009)

0 引 言

在科学研究或工程技术领域中，常常会遇到许多实际问题的数学模型，例如非线性力学问题、电路问题、经济和非线性规划问题等，它们最终都归结为非线性方程f(x)=0，x∈R的求解问题，因此研究和解决非线性方程解的存在性及寻求其有效数值解法都是非常必要的。迄今为止，解非线性方程的方法很多，通常使用的是牛顿迭代方法及其改进方法，另外还有很多通过其它方法构造的迭代方法[1-8]。这些方法中有些阶数已经达到8阶，但是其迭代形式比较复杂，所以本文基于Chebyshev-Halley公式，给出了一个多参数迭代方法，在一定条件下该方法至少是3阶收敛的，且形式简单。实例说明了该格式的有效性与优越性。

著名的Chebyshev-Halley公式[4]为:

其中，Tf(x)=f(x)f″(x)/[f′(x)]2;λ为一个任意的实参数。该方法是3阶收敛的，λ=0时为Chebyshev方法;λ=1/2时为Halley方法;λ=1时为Super-Halley方法;λ→±∞时为经典New ton方法。

本文在Chebyshev-Halley公式的基础上，构造了一类不需要计算2阶导数的双参数迭代方法，且在一定条件下可以达到4阶收敛。

1 迭代公式的构造

为了减少2阶导数的计算，本文引入参数β(β为任意非零实数)，将Chebyshev-Halley公式做如下的修改，即

令y=x-βf(x)/f′(x)，β为任意非零实数，将f(y)Taylor展开为:

可得:

从而将

代入Chebyshev-Halley公式得:

(1)式是依赖于参数λ和β的，以下给出一些特殊情况的迭代格式:

(1)当λ=0，β≠0时，

当β=1时，

则(3)式为J.F.Traub给出的3阶收敛公式，见文献[9]。

当β=-1时，

则(4)式为文献[5]给出的一个迭代公式，也是3阶收敛的。

当β→±∞时，

则(5)式为经典的New ton公式，它是2阶收敛的。

(2)当λ=β≠0时，

当λ=β=1时，

则(7)式为T raub-Ostrow ski格式，是4阶收敛的，见文献[4]。……