胡兴武，罗 毅

(华北电力大学控制与计算机工程学院，北京102206)

0 引言

目前，中国城市生活垃圾成分复杂、含水率高、热值低、无机物含量高、有机物含量少，给焚烧炉燃烧控制带来一定难度。因此，采用全局建模方法很难精确描述系统，而传统的建模方法(如神经网络等)多数基于经验风险最小化原则，泛化能力不强，存在“过拟合”问题。支持向量机［1］(Support Vector Machines，SVM)是近年来应用于建模的一种新学习方法，与传统的神经网络相比，支持向量机算法最终将转化为一个二次型寻优问题，在理论上得到的是全局最优点，解决了在神经网络中无法避免的局部极小值问题。最小二乘支持向量机是标准支持向量机的一种扩展和二次损失函数下的一种形式，由于其解题速度快，在函数估计和逼近中得到了广泛应用。

1 支持向量机与最小二乘支持向量机

1.1 支持向量机(SVM)

近年来，Vapnik等［1-2］提出的标准支持向量机(SVM)方法已在许多领域取得了成功应用。支持向量机最优求解基于结构风险最小化的思想，因此具有比其它非线性函数逼近方法更强的泛化能力，局部最优解一定是全局最优解;核函数利用隐式非线性变换，解决了维数灾难问题;拓扑结构由支持向量决定，避免了神经网络结构需要经验试凑的缺点，能以任意的精度逼近任意函数。

支持向量机大部分应用实例都是离线式的，采用离线式学习算法就可以解决。如果学习机的样本是在线采集的，就必须使用在线学习算法，要求在1个采样时间周期内必须完成1次完整的运算，以更新参数。

1.2 最小二乘支持向量机(LS-SVM)

Suykens［4］提出了最小二乘支持向量机(LSSVM)，把支持向量机的学习问题转化为解线性方程组问题，降低了计算复杂性，具有较快的运算速度。表1为SVM与LS-SVM训练速度的对比，可以看出最小二乘支持向量机收敛速度更快。最小二乘支持向量机［2］是支持向量机的一种改进，将传统支持向量机中的不等式约束改为等式约束且将误差平方和(Sum Squares Error)损失函数作为训练集的经验损失，这样就把解二次规划问题转化为求解线性方程组问题，提高了求解问题的速度和收敛精度。

表1 SVM与LS-SVM训练速度的对比

回归最小二乘支持向量机的提法如下［4］:

式中x∈Rn，y∈R;非线性函数φ(x)将输入空间映射为高维特征空间。

给定训练数据集{xk，yk}Nk=1，LS-SVM定义如下优化问题，表达式为

满足约束

定义Lagrange函数为

式中αk为Lagrange乘子。

根据K-T最优条件

对于k=1，2，…，n，消去w和ek，得到此优化问题如下解析解，表达式为

式中，y=［y1，y2，…，yN］T;l=［1，…，1］T; α=［α1，α2，…，αN］T。Ω为一个方阵，第k列l行的元素为

Ωkl=φ(xk)Tφ(xl)=K(xk，xl)，K(·，·)为核函数。

在式(5)的基础上可进一步求出w，从而得到训练数据集的非线性逼近，表达式为

常用的核函数形式有线性、径向、多项式、感知器等，这里使用径向基函数RBF函数为

式中σ为待定参数，表示径向基函数的宽度。

从式(7)可知，SVM回归可用3层的网络结构来表示，其中输入层、隐层、输出层节点数分别为n、N、l，而输入与隐层之间、隐层与输出之间的连接权值分别为l、αk(k=1，2，…，N)。

另外，由于在求解式(2)的过程中，所有元素都不为零，使LS-SVM不具有标准SVM的支持向量稀疏性。为了得到稀疏的支持向量集，Suykens［3-4］提出一种修剪算法，按照αk的绝对值的大小决定训练集中数据向量(支持向量)的重要程度，并从数据集中去掉一小部分最不重要的数据向量，利用剩下的数据向量重新进行函数估计。在调整过程中可以调整处罚因子γ和核宽度σ的值，从而提高函数的逼近性能。

2 LS-SVM控制器的设计

2.1 LS-SVM控制器的结构

LS-SVM控制器结构如图1所示。控制器由二维输入、一维输出构成，中间部分为LS-SVM网络，功能为实现系统的控制决策，中间节点个数为支持向量个数。变量e(t)、ec(t)、u(t)分别是系统的偏差值、系统的偏差变化率以及控制器的输出值。

图1 LS－SVM控制器结构

图1中虚线内为LS-SVM控制器，控制器分为输入层、隐含层和输出层3层。控制决策过程如下。

输入层:将输入变量e(t)、ec(t)作为控制系统的输入x。

隐含层:完成二维输入x与SVM进行核运算，

2.2 LS-SVM控制器的参数选择

影响LS-SVM控制器性能的参数主要有处罚因子γ、核宽度σ等，这些参数总是在1个有限的范围内才能表现出较好的性能，偏离这些范围会使LS -SVM控制器的性能明显下降且不同的被控对象总存在1个最佳的参数组合点。

应用最小二乘法求解时，处罚因子γ和核参数σ的选择很重要。本文用网络搜索法先选择参数对(γ、σ)，然后用交叉验证法［5-6］对目标函数(如均方差最小)进行寻优，直至找到最佳参数对，使交叉验证精度最高。选择最佳参数对的过程如下。

a.找到合适的γ和σ集。通过实验测试，发现按照指数增长方式生成2种参数集是一种有效的方法，例如

采用网格搜索简单直接，每对参数(γ、σ)相互独立，可以并行地进行网格搜索。

b.采用网格搜索法选择1对参数(γ、σ)并进行交叉验证。把样本集D分为S组{G1，G2…GS}，把任意的S-1组作为训练集，剩余的1组作为验证集。通过选择不同的验证集，可重复S次。泛化性能P可通过下式评价，表达式为

式中Gi为第i组验证集;yN为验证集的样本;xi为用D-Gi作为训练样本时得到的参数向量，y(xN|xi)为LS-SVM系统的输出。

c.循环选择参数对并进行交叉验证，计算每对参数的性能P，直至网格搜索停止，使式(8)P最小的参数对(γ、σ)最佳。应用交叉验证方法选择参数能够避免过拟合问题。

2.3 仿真研究

由于垃圾燃烧具有大迟延、大惯性的特性，采用全局建模方法很难精确描述系统，只能得到近似模型。以马丁式炉排炉为例，控制燃烧主要为控制炉温，炉排对控制炉温起着重要作用。以炉排为控制对象，以炉膛温度偏差作为控制器输入、炉排速度作为控制器输出构成的控制系统如图2所示。变量r(t)、y(t)、u(t)、e(t)、ec(t)分别是系统给定值、被控对象的输出值、被控对象的输入值、系统的偏差值、系统的偏差变化率，e(t)=r(t)-y(t)，ec(t)=de(t)/dt。

以炉排速度为输入，炉温为输出，用阶跃响应法得到炉排系统的近似数学模型如下［9］，表达式为

式中K0=20，τ=0.5s，T1=8，T2=6，a=1，b=1，即被控对象为1个二阶时滞非线性系统。

图2 LS－SVM控制系统结构

系统仿真过程:首先用网格搜索法选择参数对，用交叉验证法进行寻优，找到最佳参数对，然后用已知数据对控制器进行训练，把训练好的控制器模型加入控制系统中，利用一阶阶跃信号模拟给定信号，将其与反馈信号相减后得到偏差信号，并将偏差信号做微分处理，得到偏差变化率;将偏差信号与偏差变化率送入LS-SVM控制器进行运算，由控制器得到控制量对被控对象进行控制。

为了比较LS-SVM控制器与传统PID控制器的控制效果，用以上模型分别控制算法进行仿真对比。输入采用单位阶跃信号，同时为了比较系统的抗干扰能力，在仿真时间30 s时加入宽度0.01 s、幅值0.2的脉冲信号作为干扰。图3为两种不同控制系统的仿真结果。表2为两种控制系统在性能指标上的对比。仿真结果表明:对于阶跃输入，LS -SVM控制系统易于达到稳定，响应平稳，更迅速;对于脉冲干扰，LS-SVM系统抗干扰能力更强。可以看出，在超调量、稳态精度和调节时间方面，LSSVM控制系统有比较好的控制效果。

图3 阶跃与脉冲输入下二阶非线性时滞系统仿真图

表2 PID与LS-SVM控制效果的对比

图4为控制器输出变化曲线。PID控制器输出变化率很大，LS-SVM控制器输出平缓，可见LS -SVM比常规PID控制具有更强的适应性。

图4 二阶非线性时滞系统控制输出仿真

3 结论

本文将最小二乘支持向量机运用于垃圾焚烧发电控制，设计了一种最小二乘支持向量机控制器。垃圾焚烧控制仿真结果表明，该控制器抗干扰效果好，适应性强，具有小样本学习、泛化能力强、控制性能优良等特点。

［1］ Vapnik V N.An overview of statistical learning theory［J］.IEEE Trans.on Neural Networks，1999，10(5):988-999.

［2］ Platt J.Fast training of support vector machine using sequential minimum optimization［C］.Advance in Kernel Methods-support Vector Learning，Cambridge，1999:185-208.

［3］ Suykens J A K，Lukas L，Vandewalle J.Sparse approximation using least squares support vector machine［C］.IEEE Int.Symposium on Circuit and Systems(ISCAS 2000)，Geneva，Switzerland，2000.

［4］ Suykens J A K，Vandewalle J.Least squares support vector machine classifiers［J］.Neural Network Letters，1999，9(3):293 -300.

［5］ Gestel T V，Suykens J A K，Lanckriet G.Bayesian framework for least squares support vector machine classifiers，Gaussian processes and kernel fisher discriminant analysis［J］.Neural Computation，2002，15(5):1115-1148.

［6］ Suykens J A K.Vandewalle J.Recurrent least squares support vector machines［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems-I，2000，47(7):1109-1114.

［7］ Plat t J.Sequential minimal optimization:A fast algorithm for training support vector machine［R］.Washington:Microsoft Research，1998.

［8］ Nello C，John S T，李国正，等.支持向量机导论［M］.北京:电子工业出版社，2004.

［9］ 华祥贵，孙跃.垃圾焚烧炉垃圾自动燃烧模糊控制研究［D］.重庆:重庆大学，2008.

［10］ 张学工.关于统计学习理论与支持向量机［J］.自动化学报，2000，26(11):34，42.

［11］ 许建华，张学工，李衍达.支持向量机的新发展［J］.控制与决策，2004，19(5):481-484，495.

［12］ 阎辉，张学工，李衍达.支持向量机与最小二乘法的关系研究［J］.清华大学学报，2001，41(9):77-80.

［13］ 马勇，黄德先，金以慧.基于支持向量机的软测量建模方法［J］.信息与控制，2004，33(4):417-421.

［14］ 冯瑞，张浩然，邵惠鹤.基于SVM的软测量建模［J］.信息与控制，2002，31(6):567-571.

［15］ 靳涛，付忠广，刘刚，等.反向建模方法在火电厂关键参数建模中的应用［J］.动力工程，2009，29(11):1008-1012.