张培国

（菏泽学院 初等教育系，山东 菏泽 274000）

Banach空间中一类非线性弹性梁方程正解的存在性

张培国

（菏泽学院 初等教育系，山东 菏泽 274000）

Banach空间；弹性梁方程；不动点；边值问题

1 引言和预备知识

在材料力学中，四阶两点边值问题（BVP）描述了弹性梁在外力作用下的形变，近年来对四阶两点BVP的研究已有很丰富的结果.[1-6]四阶两点边值问题

描述的是一端简单支撑(t=0)、另一端可滑动(t=1)的弹性梁的形变，在经典梁分析如文献[1]中BVP（1）是6种典型梁之一.据我们所知，研究BVP（1）的文献较少且仅限于一般空间中讨论，本文设P是实Banach空间E中的正规锥，在Banach空间中考虑BVP（1）正解的存在性.

为了方便，首先列出假设条件：

H） f ∈ C( J × P, P)， tf( t, Pr)= {tf( t, x) |x ∈ Pr}相对紧，且存在 a( t), b( t) ∈ L( I, R+)，w( t) ∈ C[ I, R+]使得对任何x∈P，||tf( t, x) ||≤ a( t) + b( t) w( ||x ||)，a.e.t∈I，其中 Pr={x ∈P:||x ||＜r} .

引理1[7]设E为实的Banach空间，且P是E中的锥，设 Ω, Ω ⊂ E为有界开集，θ ∈Ω且

121是全连续的，另外，假设下列条件成立

H1）||T u||≤||u||， ∀ u∈ P ∩∂Ω1，且||T u||≥||u||， ∀u∈ P ∩∂Ω2；或者

H2）||T u||≥||u||， ∀ u∈ P ∩∂Ω1，且 ||Tu||≤||u||， ∀u∈ P ∩∂Ω2，则T在中至少有一个不动点.

引理2[8]设 H = {u| u: I → E 是强可测函数}是可数的，且存在 M ∈ L( I, R+)使得||u( t)||≤ M( t)， a.e. t∈I，u∈H.则 α(H ( t) )∈ L( I ,R+)，且

则 u ∈C[I,E ]是B V P（1）的正解当且仅当 u ∈C[ I, E ]是T的不动点，其中是对应于 u(4)(t) = 0、 u(0) = u′(0 ) = u′(1) = u ′(1) =0的格林函数.

引理3 假设条件H）成立，则T: K→K全连续.

证明 对任意的u∈K，由G( t, s)关于t的连续性知 Tu∈C[ I, E]，再由

知T: K→K，而且由 f的连续性容易证明T是连续的.下面我们证明T是紧的，令为任意有界列，不妨设||un||C≤r，令 Mr=max ｛w ( t) |0≤t≤ r ｝，由条件H）得

于是有

本文做以下记号：

2 主要结果

证明 由 f0的定义知存在r1＞0使得 ||tf( t, x) ||≤( f0+ε) ||x ||，0 ＜||x||≤r1，故对于u∈K，| |u||C=r1，于是有

由(φf)∞的 定 义 知 ， 存 在 r2＞r1使 得 φ(tf( t, x) ) ≥ ((φ f )∞- ε)||x ||，x∈P， ||x||≥r2， 令Ω2=｛u∈ K:||u ||C≤r2｝，则对于 u∈∂Ω2有

由式（2）、（4）和引理1知T在Ω2 Ω1中至少有一个不动点.

证明 由 (φf)0的定义知存在r3＞0使得 φ(tf( t, x) ) ≥ ((φ f )0- ε)||x ||，x∈P， 0 ＜| |x||≤r3.令Ω3=｛u∈ K:||u ||C≤r3｝，则对于 u∈∂Ω3，类似于式（3）有

证明 设 u∈C[ J, E]是BVP（1）的正解，则u∈K，从而有

这是个矛盾……