孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274000）

Hermite矩阵特征值的绝对扰动上界

孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274000）

利用矩阵的奇异值分解和矩阵的计算技巧研究了Hermite矩阵特征值的扰动界，得到了Hermite矩阵特征值的绝对扰动上界，该结果改进并推广了Wielandt-Hoffman定理.

Hermite矩阵；特征值；绝对扰动上界

设A ∈Cn×n，B=A+E为其扰动矩阵，A、B的特征值分别为和关于特征值的传统误差界是估计用Frobenius范数界定矩阵特征值为其中min表示对｛1, 2,…,n｝所有的排列π取最小值，称为矩阵的Wielandt-Hoffman型绝对扰动上界.本文利用矩阵的奇异值分解，得到了Hermite矩阵特征值的Wielandt-Hoffman型绝对扰动上界，该结果改进并推广了Wielandt-Hoffman定理[1].

1 定义和引理

定义1[2]13设存在酉阵U、V，使得

定义2[2]18（Frobenius范数）设则称它为矩阵A的F-范数，也可写成

引理[3]设均为Hermite矩阵，X为Hermite矩阵且X为正定阵，则：

2 主要结果

P-1XQ做奇异值分解有 P-1XQ=UΣVH， Σ=diag(σ1, σ2,… ,σn)，σ1≥σ2≥…≥σn＞0，U、V为酉阵，则

令D =UHΛU， C =VHΩV，则D、C分别酉相似于Λ、Ω，故D、C均为Hermite阵，D、C的特征值分别等于A、B的特征值.由式（1）、（3）

又Q-1X-1P =(P-1XQ )-1=VΣ-1UH，代入式（2），得

由引理1

将式（4～6）代入式（7），得

对正规阵D、C，依Wielandt-Hoffman定理知：存在1,2,…,n的某个排列π，使得所以

[1]HOFFMAN A J,WIELANDT H W.The variation of the spectrum of a normal matrix[J].Duke Math J,1953,20: 37-39.

[2]孙继广.矩阵扰动分析[M].北京：科学出版社，2001:10-22.

[3]吕烔兴.几个矩阵范数不等式及其在谱扰动中的应用[J].高等学校计算数学学报，2001(2):162-170.

[4]STEWART G W.A note on non-Hermitian perturlations of Hermitian matrices[J].Theoretical Mathematics,1972, 11(4):14-16.

Absolute Perturbation Bounds for Eigenvalues of Hermite Matrices

KONG Xiang-Qiang
(Department of Mathematics,Heze University,Heze 274000,China)

Using the singular value decomposition,some new Wielandt-Hoffman type absolute perturbation bounds of Hermite matrix are obtained.The results improve and extend the corresponding results in other papers.

Hermite matrix;eigenvalue;absolute upper bound of perturbation

?

O241.6

A

1006-7302（2011）03-0016-03

2011-03-08

菏泽学院2008年教改课题项目（200825）

孔祥强（1983—），男，山东菏泽人，助教，硕士，研究方向为计算数学.