周京华， 吴理心， 章小卫， 李正熙

(北方工业大学电力电子与电气传动工程研究中心，北京 100144)

多电平逆变器多载波调制策略的谐波分析

周京华， 吴理心， 章小卫， 李正熙

(北方工业大学电力电子与电气传动工程研究中心，北京 100144)

针对多电平逆变器多载波调制策略的谐波问题，采用双边傅里叶变换方法，提出了一种通用的谐波分析方法，得出输出电压谐波的解析表达式，从理论上阐述了多载波调制策略的谐波特性。根据所得出的通用谐波解析表达式，推导了一种具有特定相邻载波相位关系的调制策略谐波解析表达式，给调制策略的实际应用提供了理论依据。同时对3电平、5电平及7电平PD调制策略的谐波分布特性进行了仿真及实验研究。仿真及实验结果表明PD调制策略的谐波分布规律与理论分析是一致的。

多电平逆变器;调制策略;谐波分析;谐波特性

0 引言

近年来，多电平逆变器由于输出容量大，引起人们越来越多的重视。多电平拓扑结构的出现为高压大容量电压型逆变器的研制开辟了一条新思路，逐渐成为大功率电机传动和大功率无功补偿等领域的重点研究对象。

对多电平逆变器的调制策略进行研究，是多电平逆变器研究的重点之一。调制策略的优劣直接影响着多电平逆变器的性能，如开关损耗、输出电压谐波含量、开关器件负荷平衡问题等［1－2］。这就提出了一个关键性的问题，即如何合理、有效地选择调制策略。为了获得对多电平调制策略特性的了解，大多采用了数字仿真的方法，通过对输出的阶梯波进行FFT(fast fourier transform)分析，来确定相应的调制特性，但这仅仅是一种定性的分析，缺少完整的数学解释。其分析结果的准确性很大程度上依赖于数字仿真的算法、载波比的取值以及分析者的经验，因此，对于多电平调制策略，需要进行一种定量分析，准确得出其输出阶梯波的数学表达式。只有这样，才能把握住各种调制策略的本质，准确地了解其谐波特性，直观地对各种调制策略进行比较，在实际应用中能够更灵活地对调制策略进行选择。在对PWM谐波分析方面，文献［3］针对两电平逆变器展开分析，并且得出了相应的结论。但是，对于基本的多电平调制策略的谐波分析仍缺乏深入研究。这主要是由于输出电平的增加，极大增加了解析计算的难度及复杂性。文献［4］对多载波调制策略3种调制策略进行了谐波分析，但其推导过程过于复杂，得到的结果难以理解和应用，缺乏通用性。文献［5］给出了多电平调制策略的谐波解析表达式，但所采用的波形分解的方法仍过于复杂，分析过程不够清晰，结果略显繁琐。文献［6］采用了一种比较简单的波形合成方法，但坐标系的选择不够明确，并且对在过调制区域时谐波分布的特性没有明确的阐述，同时没有给出清晰的谐波解析表达式，得出的结果并不完整。文献［7］采用单极倍频相移PWM技术，分析了级联型多电平技术的输出电压谐波分布特性，并对研究结果进行了实验验证，但是没有给出明确的波形合成原则。

本文研究了用于多电平逆变器的多载波PWM调制策略，提出了一种简单的波形分解原则，采用双边傅里立叶变换技术，详细推导出了输出电压的通用谐波解析表达式，为从本质上理解调制策略的特性奠定了很好的基础。根据所得出的通用谐波解析表达式，推导了一种具有特定相邻载波相位关系的调制策略谐波解析表达式，给调制策略的实际应用提供了理论依据。最后，通过仿真及实验，分析了多载波PWM调制策略的谐波特性，并与所得出的谐波解析表达式进行了比较，阐述了多电平逆变器电平数的增加对输出电压频谱特性的影响。

1 多电平逆变器多载波调制策略

基于多载波的SPWM基本原理是使用几个三角载波信号和正弦参考信号，通过他们之间的比较产生开关切换信号［8］。基于多载波的正弦脉宽调制技术是多电平逆变器最常用的调制策略之一，由于多电平逆变器本身具有拓扑结构上的复杂性，其调制策略并不能认为是两电平调制策略向多电平调制策略的简单扩展，而是具有其特殊性。

多载波调制策略的基本原理是:在N电平逆变器中，N－1个具有相同频率和相同幅值的三角载波并排放置，形成载波组;以载波组的水平中线作为参考零线，共同的调制波与其相交，得到相应的开关信号，主要包括3种调制策略［9］:

1)所有载波相位相同的PD(all the carriers are disposition in phase)调制策略，如图1(a)所示。

2)所有相邻的载波相位相反的APOD(all the carriers above the zero value reference are disposition in phase among them but in opposition with those below)调制策略，如图1(b)所示。

3)正载波与负载波相位相反的POD(all the carriers are disposition alternatively in opposition)调制策略，如图1(c)所示。

图1 多载波谐波消除SPWM调制策略示意图Fig.1 SPWM modulation strategy to eliminate multi-carrier harmonic

2 多载波调制策略的谐波分析

将双边傅里叶分析的方法引入到基于多载波的多电平PWM调制策略中，用于分析其谐波特性，从而更清晰地认识多电平调制策略的本质。

根据双边傅里叶变换理论［10］，任何基于载波的PWM调制策略，其输出波形的通用谐波表达式可以表示为

1)m=0，n≠0 时，nω0为基波谐波;

2)m≠0，n=0时，mωc为载波及载波倍数的谐波;

3)m≠0，n≠0 时，mωct+nω0t为载波倍数的边带谐波。

对于任何调制策略，要得到其谐波含量的解析表达式，关键是根据x，y合理的确定积分区域，得出相应的开关函数F(x，y)的值。

以图1(a)所示的PD调制策略为例，基本调制原理是:在调制波的正半周，调制波与0参考轴上的所有载波进行比较，当调制波每大于一个载波时，便输出一个正的台阶电压，否则输出0电平;在调制波的负半周，调制波与0参考轴下的所有载波进行比较，当调制波每小于一个载波时，便输出一个负的台阶电压，否则输出0电平。调制波与每一个载波比较来得到逆变器相应的输出电平，从而获得最后的电平输出。

随着多电平逆变器电平数的增加，开关函数F(x，y)有多个取值，这给谐波分析带来很大的困难。简化的目的就是基于波形合成的原则，在等效原则的前提下，减少F(x，y)的取值个数。在双边傅里叶分析应用于PWM波形分析中，应基于f0，fc分别独立考察一个调制波周期内、一个三角载波周期内，调制波与三角载波的相交情况;也就是说把载波周期与调制波周期区别开来，分别加以考察。

以PD调制为例，其调制策略如图2所示。对于N电平而言，需要N－1个载波，正、负半周各需要N'=个载波。在图2中，为了方便研究，取三角载波的峰 －峰值为 1，调制波为 g(y)=Amcosω0t，调制度 M

图2 PD调制策略示意图Fig.2 PD modulation strategy

设＜N'M＞为大于N'M的最小整数，表示调制波在正半周(负半周)相交的载波个数。为了涵盖在线性调制区的所有情况，从一般性出发，调制波在给定的调制度M下，与2＜N'M＞个载波相交，输出电平数为2＜N'M＞+1。对于线性调制区，＜N'M＞≤N'。特别是当＜N'M＞=N'时，便获得在线性调制区所获得的最大输出电平数N=2N'+1。波形叠加过程如图3所示。在图3中，每个两电平PWM波的生成，可以认为是每个三角载波与调制波相交后所形成的两电平阶梯波。这种思想基于波形合成原则，把多电平阶梯波分解成两电平这一最小基本单元，很好地解决了多电平逆变器随着电平数的增加而带来谐波计算的复杂性。

为了便于波形分解与谐波计算，把图2中的时间轴 t下移，如图 3 所示。在图 3 中，Fp，i(x，y)、Fe，i(x，y)分别是正半周、负半周第i个三角载波与调制波相交后得到的两电平 PWM波表达式，i=1，2，…，＜N'M＞。由图3，根据波形合成原则，N电平逆变器PWM波表达式

图3 波形合成等效图Fig.3 The equivalent of waveform compose

考虑在一个完整的调制波周期内，在正半波周期，调制波与第i个三角载波的相交情况，如图4所示。基于图3所选坐标系，在图4(a)中，调制波为

在图4(a)中，－yi－1，yi－1与 －yi，yi分别表示调制波与正半周第i个三角载波包络线g(y)=＜N'M＞+i－1，g(y)= ＜N'M ＞ +i的交点。

对于图4(a)，有

根据图4(b)，在一个调制波周期内，开关函数Fp，i(x，y)的取值情况为

由式(4)可知，Fp，i(x，y)存在取 0 或 1 的情况。如何区别，这就要考察载波周期内，调制波与载波之间的相交情况，如图5所示。

图4 在调制波正半波周期内，调制波与载波的相交情况及开关函数 Fp，i(x，y)的取值情况Fig.4 Intersection case of modulation and carrier，and the value of the switch function Fp，i(x，y)in the modulation’s positive half period

图5 载波周期内，调制波与载波的相交情况Fig.5 Intersection case of modulation and carrier in the modulation’s period

在一个三角载波周期内，当正半周第i个三角载波与调制波相交时，坐标系与图3一致，计算其交点方程，得到xr，xf，如图5所示。在图5中:

在一个三角载波周期内，开关函数Fp，i(x，y)的取值情况为

至此，分别得出了调制波周期、载波周期内Fp，i(x，y)的取值情况。结合式(4)、式(5)可以综合得出由调制波周期与载波周期共同决定的积分区域，开关函数 Fp，i(x，y)的完整取值情况为

其积分区域投影到xoy坐标系中，表示为图6。在图6中，阴影部分为开关函数Fp，i(x，y)=1的有效积分区域。

根据式(6)及图6，可以计算开关函数Fp，i(x，y)的谐波系数。在图2中，由于所采用的统一坐标系，正弦调制波与三角载波均关于y轴对称，为偶函数。因此，在双边傅里叶分析中，正弦谐波系数Bmn=0。

图6 积分区域

Fig.6 Integral area

对以下3种情况分别加以计算:

3)m≠0，n∈(－∞，∞)载波及载波倍数的谐波、载波倍数的边带谐波

其中，Jk(·)为k阶Bessel函数。

对于调制波负半周与三角载波相交情况的考虑，与正半周的分析类似。与图4(a)相对应，根据对称性，可得调制波的负半周与载波的相交情况，如图7所示。

通过以上对调制波在正、负半周与载波的相交情况的分析，所采用的方法是以单个载波与调制波相交形成的两电平PWM波为基础，基于波形合成原则进行分析计算，而对于相邻载波的相位关系没有要求。因此，相邻载波的相位关系在多电平输出电压谐波分析中，是可以选择的自由度之一。所有相邻的载波相位可以任意分布，具有不同的相位关系。相邻载波的相位关系可以通过其初始相位角来表示。在这里设 αp，i、αe，i分别为正、负半轴第 i个三角载波的初始相位。

图7 在调制波的负半周与载波的相交情况Fig.7 Intersection case of modulation and carrier in the modulation’s negative half period

综上所述，根据式(1)，对于正半周第i个三角载波与调制波相交后所得到的两电平PWM输出的谐波表达式为

同理，可以得到负半周第i个三角载波与调制波相交后所得到的两电平PWM输出的谐波表达式为

结合图7，与正半周推导过程类似，在式(13)中有

根据式(2)、式(12)、式(13)，对于总的输出阶梯波，其谐波表达式为

当M＞1时，调制波处于过调制区域，此时＜N'M＞=N'。在过调制区与线性调制区显著的区别就是 y≠0，而是 y=cos－1()，因此谐波系＜N'M＞N'

数与线性调制区是不同的，但计算的思想是完全一致的。在过调制区有

根据式(14)、式(15)，可以得到任意多载波调制策略谐波表达式。并且，从式(14)可以看出，在线性调制区中，任何谐波表达式均不含基波谐波，基波幅值与调制度M成正比。至于载波及载波倍数的谐波、载波倍数的边带谐波是否包含，这要视载波之间的相互相位关系而定。

在前面介绍了3种多电平多载波调制策略:APOD、POD、PD。在这3种调制策略中，载波相位之间具有特定的关系，因此，相应的谐波特性也互不相同。根据所得到的通用解析表达式(14)、式(15)，可以很方便地得到以上3种调制策略的谐波表达式。限于篇幅，以PD调制策略为例，只考虑线性调制情况，对所得出的谐波通用解析表达式进行说明，对于过调制的分析过程不作叙述。

对于PD调制策略，正、负半波的载波初相角为αp，i= αe，i=0(如图 2 所示)，代入式(14)得

根据式(17)，可以归纳出PD调制策略的谐波分布特点:

1)在线性调制区，谐波包括奇次载波倍数的谐波、奇次载波倍数的偶次边带谐波、偶次载波倍数的奇次边带谐波。谐波不包括偶次倍数的谐波、偶次倍数的偶次边带谐波、奇次倍数的奇次边带谐波。

2)调制策略不会提高等效载波频率，但随着电平数的增加，谐波的幅值会随之减少。

3)奇次载波倍数的谐波在三相系统中，由于相与相之间的载波相位没有偏移，因此，在线电压中，不存在奇次载波倍数的谐波。

图8 三电平大功率通用变频器系统结构图Fig.8 Structure of three-level high-power universal frequency converter

3 实验及仿真结果

在得到以上多电平调制策略的谐波解析表达式后，以PD调制策略为例，采用Matlab进行仿真，以此来验证解析表达式所表明的谐波特性。仿真参数如下:fc=1 050 Hz，f0=50 Hz，载波比 mf=21，M=0.9。仿真结果如图9所示。同时，基于所研制的三电平大功率逆变器实验平台(实验系统框图如图8所示)，对采用PD调制策略的实际输出波形进行了谐波分析，以便进一步验证调制策略的谐波分布规律。实验结果如图10所示(载波频率fc=10 kHz)，所用示波器的型号是TDS3014B。

从图9(c)、图9(e)中可以看出，采用PD调制策略所引起的最严重的谐波位于一次载波频率fc处，把更多的谐波能量注入到载波谐波，频谱中存在着载波谐波及载波倍数的边带谐波，同时，开关器件的平均开关频率等于载波频率。这与对式(17)的理论分析结果是一致的。

图9 PD调制策略Fig.9 PD modulation strategy

表1 21次谐波含量仿真与理论计算结果比较Table 1 The theoretical calculation and simulation result comparison of 21st harmonic content

从表1可以看出，Matlab仿真结果和理论公式计算结果相一致，进一步验证多电平谐波分析方法的正确性。

图9(c)与图9(e)相比较，发现从5电平到7电平，对于PD调制策略而言，主要谐波分布的特性没有发生改变，最重要的谐波依然是围绕着载波频率fc，但是，随着电平数的增加，围绕着载波频率fc的谐波幅值减少，这也是多电平逆变器电平数增加的一个优点。

图10为所构建的大功率三电平逆变器输出频率为40 Hz时的电压波形及频谱分析。从图10(a)中可以看出输出相电压为三电平，谐波含量主要集中在一次载波频率处，谐波主要是载波倍数的谐波及其边带谐波。

值得注意的是，对于三相逆变器，在线电压中，因为调制波发生了相移，谐波含量也发生了相移，所以一部分载波倍数的边带谐波会被抵消掉，这是三相系统固有的特性，与采用何种调制策略无关。同时，由于在三相系统中所采用的载波是相同的，相电压中存在的载波倍数的谐波在线电压中相互抵消了。从图10(b)中可以看出输出线电压为五电平，载波及载波倍数的谐波同相位且相互抵消，故在线电压波形中的总谐波含量大大减小。以上对实际输出波形的分析结果与对谐波特性的理论分析及仿真结果是一致的，进一步验证所提方法的正确性。

图10 输出为40 Hz时电压波形及频谱图Fig.10 Voltage waveform and frequency spectrum when output frequency is 40 Hz

4 结语

本文对多电平调制策略的特性进行深入分析，为多电平调制策略的选择以及具体方法的设计提供理论上的指导。对于多电平逆变器多载波调制策略，基于波形合成原则，提出了一种简化分析的方法，得到了多电平阶梯波电压的通用谐波解析表达式。在这种方法中，由于载波相位可以任意分布，因此所得到的谐波表达式具有很好的通用性，以PD调制策略为例，总结了谐波分 布的特点。最后，采用仿真及实验，对所提出的谐波分析方法进行了充分验证。

［1］ TRZYNADLOWSKI A M，LEGOWSKI S F.Minimum-loss vector PWM strategy for three-phase inverters［J］.IEEE Trans on Power Electron.1994，9(1):26－34.

［2］ HAVA A M，KERKMAN R J，LIPO T A.A high performance generalized discontinuous PWM algorithm［C］//Conf Rec of APEC’97.1997，2:886－894.

［3］ HOLMES D G.A general analytical method for determining the theoretical harmonic components of carrier based PWM strategies［J］.IEEE Industry Applications Society，1998，2:1027 －1214.

［4］ CARRARA G，GARDELLA S，MARCHESONI M.A new multilevel PWM method:a theoretical analysis［J］.IEEE Trans on Power Electronics，1992，7(3):497－505.

［5］ MCGRATH B P，HOLMES D G.An analytical technique for the determination of spectral components of multilevel carrier-based PWM methods［J］.IEEE Transactions on industrial electronics.2002，49(4):847－857.

［6］ LAU W H，ZHOU Bin，CHUNG HENRY S H.Compact analytical solutions for determining the spectral characteristics of multi-carrier-based multilevel PWM［J］.IEEE Trans on Circuits and Systems－1:Regular Papers，2004，51(8):1577－1585.

［7］ 张缨，李耀华，蔡凌，等.基于相移PWM调制的多电平D类功率放大器谐波分析［J］.电工技术学报，2007，22(7):104－108.

ZHANG Ying，LI Yaohua，CAI Ling，et al.Analysis of a cascade multilevel class-D power amplifier output Harmonic［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2007，22(7):104 －108.

［8］ TOLBERT L M，FANG Zhengpeng，HABETLER T G.Multilevel PWM methods at low modulation indices［J］.IEEE Transaction on Power Electronics，2000，15:719－725.

［9］ MCGRATH B P，HOLMS D G.A comparison of multi-carrier PWM strategies for cascaded and neutral point clamped multilevel inverters［C］//Power Electronics Specialists Conference，2000(PESC00).2000，2:674 －679.

［10］ RODRIGUEZ Jose，LAI Jih-Sheng，FANG Zhengpeng.Multilevel inverter:a survey of topologies，controls，and applications［J］.IEEE Trans on Industrial Electronics，2002，49(4):724 －738.

(编辑:于智龙)

Harmonic analysis of multi-level inverter multi-carrier modulation strategy

ZHOU Jing-hua， WU Li-xin， ZHANG Xiao-wei， LI Zheng-xi

(Power Electronics and Motor Drives Engineering Center，North China University of Technology，Beijing 100144)

Utilizing the double Fourier transformation，this paper proposes a general harmonic analysis method for the multi-carrier modulation strategy of multi-level inverter，and deduces the harmonic expression of the output voltage in detail.Base on expression of the output harmonic，the harmonic characteristic of the multi-carrier modulation strategy was analyzed in theory.At the same time，simulation and experiment were made to analyze the harmonic distribution characteristics of the 3-level，5-and 7-level PD modulation strategy.Simulation and experimental results show that the harmonic distribution of PD modulation strategy is consistent with the theoretical analysis.

multi-level inverter;modulation strategy;harmonic analysis;harmonic characteristics

TM 464

A

1007－449X(2011)05－0063－09

2010－01－13

北京市科技新星计划资助(2009B01);北京市高等学校人才强教计划资助项目(PHR201008188)

周京华(1974—)，男，博士，副教授，研究方向为多电平技术在电力电子技术中的应用;

吴理心(1984—)，男，硕士研究生，研究方向为能量回馈型高压变频装置;

章小卫(1981—)，男，硕士，讲师，研究方向为三电平大功率调速装置;

李正熙(1955—)，男，博士，教授，研究方向为高性能交流调速系统。