杨建生， 张运英， 王德秀

(1.上海大学理学院，上海200444;2.上海市亭新中学，上海201505)

设q，n，k为整数，且n≥k，A={0，1，2，…，q-1}(模q)为加法群.(n，qk，d)表示A上含有qk个码字且最小汉明距离为d的码.如果d=n-k+1，则称其为A上最大距离可分码，即MDS码.MDS码是组合数学研究的重要内容，Macwilliams等［1］认为：MDS码是编码理论中最令人着迷的一章内容.

MDS码一般分为线性和非线性.由于线性MDS码具有良好的代数结构与几何结构，因此，可以借助线性代数与有限几何的方法进行研究，其中特别引人注目的是“编码理论中的主猜想”的研究.

1 符号说明及MDS码的基本结果

设A为域，mq(k)表示A上的线性MDS码(n，qk，n-k+1)的最大码长，即mq(k)=max{n|存在A上(n，qk，n-k+1)MDS码}，则关于mq(k)的“编码理论主猜想”为

由于此猜想在编码理论与有限几何的研究中具有重要意义，因此，关于mq(k)的研究［2］十分丰富.

对于非线性MDS码，由于其缺乏良好的代数与几何结构，因此，很难找到系统的方法进行研究.从组合学角度考虑，非线性码的研究价值在于其应该具有比线性码更好的纠错能力.因此，对于非线性MDS码，研究人员提出了类似线性MDS码的问题，即在参数k确定的前提下，(n，qk，n-k+1)MDS码的最大码长Mq(k)具有什么性质?然而令人遗憾的是，研究Mq(k)的难度远大于研究mq(k).迄今为止，关于Mq(k)的研究［3-8］十分零散，并且主要采用有限几何的方法，其中有关Mq(k)的研究结果可概括为定理1和定理2.

定理1［7］(1)设k≥3，q＞2，如果存在(q+ k-1，qk，q)MDS码，则4整除q;

(2)设k＞3，q＞2，如果存在(q+k-1，qk，q) MDS码，则36整除q.

定理2［4］(1)对于(n，qk，d)MDS码，如果36不整除q，且k≥4，则n≤q+k-3;

(2)如果q＞2，且q≡2(mod 4)，则(q+1，q3，q-1)MDS码不存在.

由于MDS码缩短后仍为MDS码，因此，有如下引理：

引理1 Mq(k)≤Mq(k-1)+1.

本研究利用 MDS码的……