沈 青， 赵松林， 张大军

(上海大学理学院，上海200444)

本研究将讨论sine-Gordon方程的一个新对称.该对称可以由已知的平方本征函数对称通过一个极限过程得到，而且由相应的对称约束得到的新解是一个二重极点解［7-9］，可以看作是方程的极限解.另外，平方本征函数与孤立子方程的自相容源之间有着紧密关系［10-11］.新的极限对称引出一个带新自相容源的sine-Gordon方程，本研究将利用双线性方法求解这个带源的方程.

1 Sine-Gordon方程的一个极限对称

Sine-Gordon方程为该方程最早来自于负常曲率曲面，可用于描述Josephson传输线中的磁通量子［12-13］、共振介质中的超短脉冲传播［14］等，具有丰富的物理与几何背景.Sine-Gordon方程是可积的，其Lax对为

式中，λ为谱参数.可以验证，当φ1和φ2满足式(2)和(3)时，有

式(4)为sine-Gordon方程的一个对称，即满足σxt= σcos u.利用对称所满足的线性方程的线性性质，由式(4)以及方程的另一个对称ux，可以得到方程的一个对称约束为

式中，φij为Lax对当λ=λj时的解.由式(5)可以引出sine-Gordon方程的N-孤子解［15-16］.

引入

式中，φ1j和φ2j，ψ1j和ψ2j满足如下关系：

2 相似约化

2.1 相似约化与精确解

考虑式(1)的对称的组合

式中，φ1j，φ2j满足式(7)和(8)，ψ1j，ψ2j满足式(9)和(10).令σ^=0，有

这是一个新对称约束.整个系统由式(1)，(7)～(10)，(13)组成，其中j=1，2，…，N.直接代入验证发现，当φkj，ψkj(k=1，2)满足式(7)～(10)时，由式(13)定义的u自动满足sine-Gordon方程.所以，此约束系统可以简化为

引入如下变换：

式中，i为虚数单位，“-”表示复共轭.将式(14)两边对x微分，利用式(20)和(21)，可以将式(14)～(19)写成如下双线性形式：

为了方便，在式(22)～(26)中已将λj记为-kj，算子 D即为所熟悉的 Hirota双线性算子［17］，定义为

为了精确地求……