李寿贵，韩汇芳，杨佩佩

（武汉科技大学理学院，湖北武汉，430065）

1 基本定义

设K为平面中的紧凸区域，G为直线，当G与K相交时，称σ＝λ1（G∩intK）为弦长，其中λ1为一维测度。当G仅与凸域K的边界∂K相交时（包括G∩∂K为线段的情形），约定σ＝0。

定义1 设s为φ方向的单位向量，用σM（φ）表示垂直于s的直线G被凸域K截出的弦长的最大值，即

σM（φ）称为凸域K的最大弦长函数[1]。

定义2 设直线G的广义法式坐标为（p，φ）。对任意给定的σ≥0，称

为凸域K的广义支持函数[1]。特别地，p（0，φ）就是普通支持函数p（φ）。

定义3 设K为有界凸域，σ为K被G截出的弦长。考虑积分

式中：n为非负整数。In称为凸集K的弦幂积分，而序列｛In｝（n＝0，1，2，…）称为凸集K的弦幂积分序列[1－2]。

引理1 设平面凸域K的面积为F，周长为L，则

2 凸域弦长的定义及计算公式

在音乐厅、会场的设计中，经常需要考虑声源到达墙壁再反射到听众的距离问题。研究人员关心这些距离值的分布，尤其关心距离的平均值[3－4]，将其抽象为一个数学问题：设K为平面紧凸域，P为K中的一点，ϑ为一个方向角，r为点P沿方向ϑ到达边界点的距离。

定义4 设K为平面紧凸域，则凸域K的内点与边界点的平均距离定义为

定义5 设K为平面紧凸域，则凸域的平均弦长定义为[3－4]

设点P∈K，ϑ为方向角，则过点P沿方向ϑ将确定一条有向直线G＊，G＊所在的普通直线记为G。G＊可以看成原坐标系中与x轴重合的轴o′x′经过刚体运动u（a，b；ϑ），将o′平移到P后的结果。设G＊的广义法式坐标为（p，φ），自原点o引G＊的垂线交G＊于H点。对G＊上任意两点A、B，约定用AB表示矢量AB在轴G＊上的投影值，即当AB与G＊同向时，AB＝｜AB｜；当AB与G＊反向时，AB＝－｜AB｜。设G＊与∂K依G＊的方向交于两点P1、P2。令t＝PH，r＝PP2，则

由平面运动群的运动密度公式[1]及t＝PP2＋P2H＝r＋P2H可知：

定理1

证明

3 平行四边形内点与边界点的平均距离计算公式

以K表示两邻边分别为a和b、夹角为θ的平行四边形。不失一般性，可设，且a边平行于x轴。利用对称性，仅讨论的情形。

平行四边形的最大弦长函数为[1]

平行四边形的广义支持函数为[1]

根据式（10），平行四边形域的平均弦长

而

将上式4项依次记为I21、I22、I23和I24。为方便起见，分别计算I21，I22＋I23，I24。将式（11）和式（12）分别代入I21，I22＋I23，I24中得：

将式（15）代入式（13）得到以下定理。

定理2 平行四边形域的平均弦长为

这与文献[5]得出的结论一致。

[1] 任德麟.积分几何引论[M].上海：上海科学技术出版社，1988：3－8，71－73.

[2] Ren Delin.Topics in intergral geometry[M].Singapore：World Scientific，1994：70－78.

[3] Santalo L A.积分几何与几何概率[M].吴大任，译.天津：南开大学出版社，1991：40－89.

[4] 程鹏，李寿贵，许金华.凸域内两点间的平均距离[J].数学杂志，2008，28（1）：57－60.

[5] 赵静，李德宜，王现美.凸域内弦的平均长度[J].数学杂志，2007，27（3）：291－294.