牟晓宇

(吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136000)

1 中西古代对π的计算

在人类的历史上许多民族都或早或晚的涉及了π的计算，但都没有达到古代中国和古希腊的计算精度.中国最早的数学著作《周髀算经》里有关圆周率的计算是“周三径一”，可见当时认为π=3；西汉时期的刘歆认为π=3．1547；约在公元二世纪，张衡取π=3.1466和3.162；三国时吴王蕃认为π=3.1566[1].但这些圆周率是通过什么样的计算方法获得的在中国古代的典籍中还缺乏明确的记载.中国历史上可以和欧几里得比肩的数学家刘徽在《九章算术注》中开创性的用“割圆术”的方法来计算圆周率，在中国的历史中可谓是第一个对π进行系统性理论性计算的数学家.用现代的几何学观点解读刘徽的“割圆术”，可以发现刘徽非常巧妙地利用圆的内接正多边形去无限分圆.刘徽认为当正n边形的边数越多时，圆的面积便与这个内接正多边形面积越接近.刘徽指出：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至少不可割，则与圆合体而无所失矣”.通过计算得出π=3.14.后又进一步求得π=3.1416.在刘徽之后南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之(公元429-509)在其《缀术》中对圆周率的进一步计算，不仅使结果更为精准，而且把中国有关圆周率的研究又向前推进了一步.遗憾的是祖冲之的数学著作《缀术》失传了，成为中国数学史上的一大憾事.

2 中西古代数学家对π的研究的启示

数学是一个民族理性思维创造力的表现，是一种抽象推理思维的表现形式.这种体现在数学家身上的理性思维的创造形式往往代表了不同民族对数学的理解与应用.古代中国与古希腊是两个不同的民族，但不同的计算方法却获得了几乎有些相近的结果.当我们把这两个民族有代表性的方法—刘徽的“割圆术”与阿基米德的“穷竭法”作以比较时，就会发现这两位古人所用的思维方式有着奇妙的相似之处.他们都考虑从逐步增加圆的内接正多边形着手，进而获得圆的周长与直径之间的关系.中国古代数学家刘徽用圆内接正多边形分割圆的周长时，认识到当多边形的边数无穷多时，就可以用正多边形的边长来替代圆的周长.通过前面的介绍可以看到“割圆术”涉及到极限的无穷思想与无穷小分割，是一个无限计算的过程.与此相类似，古希腊也是用圆内接正多边形的方法取得圆周率的计算，但是古希腊的“穷竭法”不含明确的极限步骤，它依赖于间接证法[2].即为证明一个几何量(面积，体积等)S等于一个给定量C，以分割法构造出两个序列{Ln}和{Un}，使得对所有n,都有Ln

在刘徽的“割圆术”中可以看到他的主要思想是无限细分中的曲直转化.追溯历史可以发现这是中国古代数学家一种朴素直观的逻辑联想，但是还缺乏明确的计算和演绎步骤.古希腊人是对数学有特别崇拜心理的民族，毕达哥拉斯(Pythagoras)学派把善与恶同有限与无限联系起来;亚里士多德(Aristotle)提出要把潜在的无穷(大)与真实的无穷(大)加以区别，并且认为只存在潜在的无穷大[2].由此可以看出古希腊的数学都回避无限无穷的方法，以免把“恶”的“数学”引进.

在中国古代的数学家看来数学只是一种计算或计量的“术”，它的作用只能被用来解释具体问题的数量性.于是在想到无穷分割之后，认为直与曲没有什么区别，至于无穷的存在是否“善”与“恶”是不在中国古代数学家的思考之列的.中国人关注社会实践，关注数学解决实际，对数学是“善”、是“恶”并不在意.当然对无限(无穷)的使用也就顺其自然了.拿《九章算术》来说,里面的二百四十六个数学问题,都是为了解决当时的某些生产实践活动而提出来的[4].但对由此形成的数学方法、数学理论构成形式并不十分关注.数学家张奠宇教授认为中国古代数学就是一种“管理数学”和“木匠数学”，这种数学观无法使中国的古代数学形成进一步的理性构建[5].也有的研究的学者认为刘徽的这种思想起源于古代劳动人民用砖砌物的生产实践.而阿基米德的“穷竭法”与现今我们所用的“两面夹”证明方法相类似，具有较高的理性思维和逻辑演义论证.在古希腊，数学是哲学家追求真理整体的一部分，因而必须是演绎的.美国数学史学者M·克莱因指出:古希腊的数学家是一种哲学思想的几何学家，他们从哲学、逻辑的演绎推理中获得启发，以宗教哲学为价值取向，深入追究我们可以看到数学在古希腊是一种理性的信仰[5].正是由于对数学的信仰和崇拜，数学所使用的方法、运算的形式都严格地受到了限制.所以古希腊人放弃了直观的无限思维方法，而采用“双边夹”的非无限的证明方式.

3 从π的创造中体现的古代中西民族文化

考察中西方对π的计算及其使用方法，讨论由此形成的关于无限(无穷)的观念可以看出古代中西方对数学价值观存在着很大差异.中国古代的文化传统主要是儒家文化，儒家文化圈学习者的数学观比较狭窄，把数学视为一门可计算的学科.因此中国古代数学是“计算”及实用的，即作为一种应用性的技术来解决实际问题，在中国古代的民族文化中数学只是礼、乐、射、御、书、数六艺中的一个技艺.从数学文化学的意义来说，数学作为一种技艺是文化体系中技术的子系统.西方文化的一个重要特征就是古希腊人把数学思维方式、数学的构造模式上升到一种理性精神，这个理性精神后来被基督教吸收，用到对世界的、宗教信仰的思考上[5].在古希腊以及后来的西方文化中，追求非实用的数学理论是一种重要倾向，文化传统的研究认为，人类的文化系统通常可以分为三个大系统，即精神文化的子系统、组织与制度文化的子系统.技术与生产的子系统.比较而言，数学在古希腊的文化系统中处于理性或信仰的精神子系统[5].而中国古代数学处于技术生产的子系统.纵观中西和整个人类历史长河我们可以看到，追求一个理性意义上的构建要比追求实用有更深远的意义，因为即使数学作为一种理论、方法的形式失去应用以后，它还会依附于精神子系统中的哲学或理性研究模式，在精神、观念的范畴内传播.这种精神子系统的传播，使数学最终会获得关于自身理论、方法研究的关注，从而形成自身研究发展的新特点.相比之下，中国古代数学作为一种技法，当它在找不到社会的实践应用之后，就会随着实用的社会需求消失而衰落、失传[5].换句话说，在中国文化传统中超越给定的技艺至用的发展方向的数学最终必然会成为“绝学”.

比较中国与古希腊在圆周率方面的研究，比较这两个民族研究圆周率的方法，我们可以发现古希腊注重理性构建、注重逻辑体系的数学理论.数学方法在古希腊文明衰落以后，仍然得以保存、发展，并最终以《几何原本》的形式在世界各种文化中传播.然而，注重实用、注重自然直观逻辑思维的中国古代数学就是在中国文化传统中也没有构成一种理论体系.(中国古代数学形成的筹算理论，实际在宋元时代之后就逐渐失传了).由此可见，通过回溯π的历史，比较研究东西方民族的差异，借鉴和学习西方文化中的理论追求，会把我们中国的数学推向新的发展道路.

[1]钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社出版,1964.

[2]M·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,2002.

[3]孙宏安.中国古代数学思想[M].大连:大连理工大学出版,2008.

[4]李强.祖聪之圆周率产生的历史条件[J].中国历史博物馆馆刊,1987.

[5]王宪昌,刘鹏飞,耿鑫彪.数学文化概论[M].北京:科技出版社,2010.