郑允利

(徐州生物工程职业技术学院 基础部,江苏 徐州 221006)

1 引言

韩振来在文献[4]中研究了如下具有连续变量的中立型差分方程

△2(x(t)+c(t)x(t-τ))+
p(t)x(t-σ)=0,t≥t0>0

的振动性,其中c(t)、p(t)∈(c[t0,+∞),R+),并给出了该方程振动及差分算子振动的几个充分条件.但对具有连续变量中立型多时滞差分方程的研究并不多见,而这类方程在实际问题中是常见的,因此,对其进行研究是很有必要的.文中将研究下面一类具有连续变量的二阶多时滞中立型差分方程的振动性问题.

(1)

记σ=max{σ1,σ2,…,σm},某函数y(t)称为方程(1)的解,如果y(t)∈[t0-μ,+∞],μ=max{τ,σ},当t≥t0时,y(t)满足方程(1)；方程(1)的解称为振动的,如果它既不最终为正,也不最终为负,否则,称为非振动的；方程(1)称为振动的,如果方程(1)的所有解都是振动的.

文中记z(t)=x(t)-p(t)x(t-τ).

2 基本引理

引理1 若p

证明 设x(t)为方程(1)的最终有界正解,从而z(t)有界.记r=max{τ,σ},则存在t1≥t0,当t≥t1-r时,有x(t)>0.

(2)

否则存在常数t3>t2,有△τz(t3)>0,因此,当i≥1时,有

△τz(t3+iτ)≥△τz(t3)

将上式两边对i从1到n求和,得

z(t3+(n+1)τ)≥n△τz(t3)

令n→+∞,有

这与{z(t)}有界矛盾,从而(2)成立.

若{z(t)}最终为负,不妨设存在充分大的t1>t0,使z(t1)<0,记z(t1)=-α,a是正常数,由式(2)得

-α=z(t1)≥z(t1+τ)≥z(t1+2τ)≥…

从而

x(t1+nτ)=z(t1+nτ)+
p(t)x(t1+(n-1)τ)≤-α+x(t1+
(n-1)τ)≤…≤-nα+x(t1)

当n→∞时,x(t1+nτ)→-∞,这与x(t)最终为正矛盾.从而最终有z(t)>0.

引理2 若下列条件成立

(A) 1≤p(t)≤p,

设{x(t)}为方程(1)的最终正解,则最终有

x(t)≥p(t)x(t-τ)≥x(t-τ)

由递推可得,存在t2>t1及正常数M,使当t>t2时,有x(t)>M,故当t>t2+σ时,有

即

由式(2)得

从而

(3)

取充分大的t3>t2,令t=t3+jτ,j是自然数,由式(3)得

z(t3+jτ)-z(t3+(j-1)τ)+

对上式的j从1到n求和,得

z(t3+nτ)-z(t3)+

再由式(2),当n→+∞时,由上式可得

这与条件(B)矛盾.因此,引理2得证.

3 主要结果

定理1 若0

则方程(1)所有有界解振动.

证明 设{x(t)}为方程(1)的最终有界正解,由引理1得,存在充分大的t1>t0,使得当t>t1时,有z(t)>0,△τz(t)≤0,且z(t)≤x(t).从而, 当t>t1时,有

(4)

(5)

由式(2)和式(5),得

即

z(t-τ)-z(t)≤-

从而当t>t2+jτ时,有

对上式的j从1到k求和,得

(6)

由式(2)得

(7)

由式(6)和式(7),得

于是,有

z(t-(k+1)τ)

即

这与(C)矛盾.当x(t)为最终负解时,同理可证.

定理2 设条件(A)和(B)成立,则方程(1)所有有界解振动.

[1]熊万民,王志成.具有连续变量的中立型差分方程的振动性[J].湖南大学学报,2001,28(1):8-12.

[2]周勇.具有连续变量的变系数差分方程的振动性[J].经济数学,1996,13(1):86-89.

[3]黄梅.具有变系数的二阶中立型差分方程的有界振动[J].数学理论与应用,2005,25(4):35-37.

[4]韩振来,孙书荣,腾厚山.一类具有连续变量的二阶中立型差分方程的振动准则[J].工程数学学报,2005,31(2):237-239.