陈广生

(广西现代职业技术学院 计算机工程系,广西 河池 547000)

1 引言

(1)

这里,常数因子π是最佳值.不等式(1)称为Hilbert重级数不等式,它在分析学有重要应用[2],其等价式是

(2)

这里,常数因子π2是最佳值.

文献[1,3]给出了式(1)、(2)如下的经典推广:

(3)

(4)

文献[4]给出了(1)式的积分形式的推广，文献[5，6]对文献[4]的结果加以推广与改进，文献[7]给出了(1)式的最佳推广.

2002年，杨等[8]给出了式(3)及式(4)的如下推广:

(5)

(6)

B(u,v)是如下定义的β函数[9]:

(7)

最近，文献[10]给出了式(1)的如下多参数推广:

(8)

(9)

本文通过引入正参数c及改进权函数的方法，给出了式(8)的积分形式的推广.作为应用，建立了其等价式及一些特殊结果.

2 引理

(10)

则有

(11)

证明 固定x，在式(10)的积分作变换令u=yc/xc，则由式(7)，有

(12)

则式(11)为真.

由式(12)可得

(13)

(14)

证明 固定y，在积分I中作变换u=xc/yc,由式(7)得，可计算得

故估计式(14)为真.

3 主要结果

则有

(15)

这里，常数因子

是最佳值.

证明 由Holder不等式，有

(16)

再由式(11)、(13)可得式(15).

(17)

证明 令

(y∈(0,∞))，

则由(式15)，可求得

(18)

因而有

(19)

由式(15)知，式(18)及(19)都严格不等号，故有式(17).

反之，设式(17)为真，由Holder不等式，有

因此由式(17)，有式(15)，故式(15)与(17)式等价.

若式(17)的常数因子不是最佳值，同法及应用式(20)，可得式(15)的常数因子也不是最佳值的矛盾.

当r=p，s=q及t=0时，由式(15)和(17)可以导出:

当r=q，s=p及t=0时，由式(19)和(21)可以导出

当r=q，s=p及t=1时，由式(15)和(17)可以导出

[1]HardyG.H,LittlewoodJE,PolyaG.Inequalities[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1952．

[2]MitrinovicD.S.,PecaricJ.E,FinkA.M.InequalitiesInvolvingFunctionsandTheirIntegralsandDerivatives[M].Boston:KluwerAcademicPublishers,1991.

[3]HardyG.H.NotonatheorowmofHilbertconcerningseriesofpositiveterms[J].Proc.LondonMath.Soc.,RecordsofProc.Xlv-Xlvi,1925,23(2).

[4]YANGBi.cheng.OnHilbert'sIntegralInequality[J].JMathAnalAppl.,1998,220: 778-785．

[5]YANGBi.cheng.OnageneralHardy—Hilbert’sIntegralInequalitywithavalue[J].ChineseAnnalsMath.,2000,21A(4):401-408.

[6]YANGBi.cheng.OnHardy—Hilbert’sIntegralInequality[J].JMathAnalAppl., 2001,261:295-306.

[7]YANGBi.cheng.OnageneralizationofHilbert’sdoubleseriestheorm[J].JnanjingUniv.-math.Biquarterly,2001,18(1):145-152.

[8]YANGBi.Cheng.DebnathL.OntheextendedHardy-Hilbert’sinequality[J].JMathAnalAppl.,2002,272:187-199．

[9]WangZ.X.,GuoD.R.,Anintroducetospecialfunction[M].Beijing:SciencePress,1979.

[10]杨必成.参量化的Hilbert不等式[J].数学学报,2006,49(5):1121-1126.