徐 姜，别利坚

(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)

1 引言

对于Hamilton系统的n次扰动系统

(1)

其中H(x，y)，f(x，y)，g(x，y)是x，y的多项式，

max{degf(x，y)，degg(x，y)}=n，

degH(x，y)=m，ε是小参数.

本文研究当

(2)

的Abel积分零点个数估计问题.

2 I(h)的代数构造

(3)

的闭分支，于是系统(2)的Abel积分为

(4)

定理1 系统(2)的Abel积分I(h)可表示为

I(h)=α(h)I0(h)+β(h)I2(h)，

这里α(h)，β(h)是h的多项式.当n≥1时，

定理2 存在Tn(x，y)，R(x，y)，使得

这里

degTn(x，y)=degRn(x，y)=2n+1，

由此可知存在g(x，y)，deg(x，y)≤2n+1，使得

即p，q分别是degα(h)，degβ(h)的上确界.

3 Abel积分的零点个数估计

由以上定理，得

(5)

#{I(h)=0}=#{p=0}.

由(4)，(5)式知

于是由广义罗尔定理

若α(h)，β(h)有公因子pm(h)，则

α(h)=pm(h)α1(h)，β(h)=pm(h)β1(h)

于是

I(h)=pm(h)[α1(h)I0(h)+β1(h)I2(h)]，

其中

degα1(h)≤p-m，degβ1(h)≤q-m，

α1(h)与β1(h)互素.从而

#{I(h)=0}=#{pm(h)=0}+
#[α1(h)I0(h)+β1(h)I2(h)=0]

而#{pm(h)=0}≤m，同上面的讨论

于是

4 结语

参考文献：

[1]张芷芬，丁同仁，黄文灶，等.微分方程定性理论[M].北京:科学出版社，1985.

[2]NOVIKOVD， YAKOVENKOS. Simple exponential estimate for the number of real zeros of complete Abelian integrals [J].Ann. Inst.Fourier，Grenoble，1995，45: 897-927.

[3]宋燕.一平面Hamilton系统的Abel积分的零点个数估计[J].数学研究与评论，2003，11(4).

[4]赵育林.三次Hamilton向量场的Abel积分[D].北京:北京大学博士研究生学位论文，1998.