杨传森

（盐城纺织职业技术学院，江苏 盐城224005）

极限函数与和函数的关系及其连续性

杨传森

（盐城纺织职业技术学院，江苏 盐城224005）

给出极限函数与和函数的定义．讨论了极限函数与和函数之间的关系，利用极限函数得到函数项级数收敛的一个必要条件，研究了极限函数与和函数的连续性，得到部分和函数列连续的一个充分条件．

极限函数；和函数；关系；连续性

1 极限函数与和函数

1．1 连续函数列与部分和函数列对函数列 ｛fn（x）｝：f1（x），f2（x），…，fn（x），…（x∈D）而言，∀x0∈D ，数列｛fn（x0）｝可能收敛，也可能发散［1］．数集D中使得数列 ｛fn（x0）｝收敛的实数x0组成的数集A称为函数列 ｛fn（x）｝的收敛域．

若∀x∈D，函数fi（x）（i＝1，2，…）都连续，则称函数列｛fn（x）｝为数集D上的连续函数列．部

分和函数列 ｛sn（x）｝：

1．2 极限函数与和函数

定义1 若函数列 ｛fn（x）｝的收敛域为A，则对 ∀x∈A都有limfn（x）＝f（x），称函数f（x）（x∈

n→∞A）为函数列｛f（x）｝的极限函数．

定义2 称函数列｛sn（x）｝的收敛域I为级数的收敛域．函数列 ｛sn（x）｝的极限函数s（x）（x∈I）为级数

2 极限函数与和函数的关系

结论1 若和函数在数集I上存在，则极限函数在数集I上存在且为零．

证明 若和函数在数集I上存在，则函数列 ｛sn（x）｝在数集I上收敛于s（x），即有limsn（x）＝s（x），

n→∞

结论2 和函数的定义域I包含于极限函数的定义域A，即I⊆A．

3 极限函数与和函数的连续性

［1］ 郑利凯．连续函数列的极限函数需要满足的充分条件和必要条件 ［J］．河北北方学院学报：自然科学版，2011，27（02）：1－2

［2］ 焦宏伟，尹景本．复变函数与积分变换 ［M］．北京：北京大学出版社，2007：63

［3］ Walter Rudin著，赵慈庚，蒋铎译．数学分析原理 ［M］．北京：机械工业出版社，2004：134

［4］ 同济大学数学系．高等数学 ［M］．北京：高等教育出版社，2007：294－295

［5］ 常……