朱德同,沈益宏,孙世良

(徐州师范大学 数学科学学院,江苏 徐州　221116)

0　引言

不等式在解决实际问题时候有重要的应用,在随机控制中也有涉及到一些不等式.在此之前,韩玉良与俞元洪[1]通过改进已有文章[3-5]的结果,给出了含有两个变量的积分不等式在非线性积分方程的解的有界性中的应用.本文将文[1]中含有两个变量的积分不等式及其离散类似,推广到含有三个变量的积分不等式及其离散类似.此外,我们还给出了它们在非线性积分方程的解的有界性中的应用.这在随机控制中对解决一类有界性的问题中有着重要的应用. 下面就给出含有三个变量的积分不等式及其离散类似,并给出他们的证明.

1　主要结果及其证明

下面定理中所考虑的函数均为实值函数,其中求和以及乘积均在其定义域内进行,R表示实数集,R+=[0,+∞).且在定理3中,记N0={0,1,2,…}.

定理1设u(x,y,z),a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)是R+×R+×R+上的非负连续函数,p>1为常数,若

(1)

则

(2)

证明定义函数

(3)

则式(1)为

up(x,y,z)≤a(x,y,z)+b(x,y,z)w(x,y,z)

(4)

即

易知E(x,y,z)关于变量x,y,z是非负连续函数,且关于变量x和y是非减函数,关于变量z是非增函数.

若E(x,y,z)>0,则对于任意的x,y,z∈R+,利用E(x,y,z)的单调性有

(5)

不等式两边同除以v(x,y,z)得,

不等式两边关于x从0点积分得,(v(0,y,z)=1)

代入式(4)得到

从而结论(2)得证.

若E(x,y,z)≥0,则对任意小的ε>0,有E(x,y,z)+ε>0,在上面的运算中,我们以E(x,y,z)+ε>0来代替E(x,y,z)>0,然后再令ε→0,即可证得上述结论.

0≤F(x,y,z,u)-F(x,y,z,v)≤G(x,y,z,v)(u-v),u≥v≥0

(6)

(7)

则

u(x,y,z)≤[a(x,y,z)+b(x,y,z)H(x,y,z)

(8)

证明定义函数

(9)

则式(7)为

up(x,y,z)≤a(x,y,z)+b(x,y,z)w(x,y,z)

(10)

得

故带入式(9)并利用式(6)得

显然H(x,y,z)关于变量x,y,z是非负连续函数,且关于变量x和y是非减函数,关于变量z是非增函数.

若设H(x,y,z)>0,则对于任意的x,y,z∈R+,有

(11)

若将上式右端函数……