吕濯缨,郑艳琳,张来亮

(1.山东科技大学公共课题部,山东济南 250031;2.山东科技大学理学院,山东黄岛 266510)

0 引 言

脉冲积分 —微分系统作为非线性脉冲微分系统的一个重要分支,在自然科学中有着广泛的应用背景,如物理学中的电路模拟器与生物学中的神经网络系统等.近年来,学者们对其的研究也产生了一些成果[1-5].在对该系统的研究中,解的定性理论已有一定进展,但解的稳定性理论还仅有比较结果和极为少量的直接结果,而且在直接结果中对V函数要求条件较高.基于此,本文利用Lyapunov函数直接方法并借助研究泛函微分方程的Razumikhin技巧的思想,减弱了在脉冲点对V函数的限制条件,得到了脉冲积分 —微分系统零解的稳定性的直接判定准则.

考虑如下脉冲积分 —微分系统,

其中:

(i)N为正整数集;

(ii)f:R+×S(ρ)×Rn在[tk,tk+1)×S(ρ)×Rn上连续,S(ρ)={x∈Rn:|x|＜ρ},k∈N;

(iv)0＜t1＜t2＜ …＜tk＜ …,且tk→∞(k→∞);

(v)Jk(x):S(ρ)→Rn(∀k∈N);

(vi)对上述ρ,存在ρ1:0＜ρ1≤ρ,使得当x∈S(ρ1)时,有 Jk(x)∈S(ρ);

(vii) K(t,t,0)≡0,f(t,0,0) ≡0,Jk(0) ≡0(∀k∈N),保证系统(1)的零解存在.

另外,我们总假定f,Jk满足一定条件以保证系统(1)的解整体存在唯一.

定义1 若函数V:R+×Rn→R+在 G上连续且满足,

定义2 称系统(1)的零解为:

(i)稳定的,若对 ∀ε＞0,t0∈R+,∃δ= δ(t0,ε)＞0,使当|x0|＜δ时,有|x(t,t0,x0)|≤ε,t≥t0;

则称函数V∈V0.若V∈V0,则,

(ii)一致稳定的,若(i)中的δ与t0无关;

(iii)吸引的,若对 ∀ε＞0,t0∈R+,∃δ= δ(t0)＞0,T= T(t0,ε)＞0,使当|x0|＜δ时有, |x(t,t0,x0)|≤ε,t≥t0+T;

(iv)一致吸引的,若(iii)中的δ,T均与t0无关;

(v)渐近稳定的,若(i)与(iii)同时成立;

(vi)一致渐近稳定的,若(ii)与(iv)同时成立.为方便起见,我们引入下列记号:

K={a∈C[R+,R+]:a(s)关于s严格单增,且 a(0)=0};

Ω1={P∈C[R+,R+]:P(s)关于s非减, P(s)＞s,s＞0,且 P(0)=0};

Ω2={H∈C[R+,R+]:H(s)关于s非减, H(s)＞0,s＞0,且 H(0)=0}.

1 主要结果

定理 设存在函数V∈V0,a,b∈K,P∈Ω1及 H∈Ω2满足:

(i)a(|x|)≤V(t,x)≤b(|x|),(t,x)∈[t0,∞)×S(ρ);

(ii)对所有 k∈N及x∈S(ρ1)有,

(iii)对系统(1)的任意解 x(t),当V(s,x(s))≤P(V(t,x(t))),t′≤s≤t,t′≥t0时,有,

其中,g:[t0,∞)→R+局部可积;

(iv)∃τ＞0,λ＞0,使得对 ∀k∈N有,2τ＜tk-tk-1≤λ,同时,对任意μ＞0,有,

则系统(1)的零解是一致……