李长军，孔玉瑾

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

高维Möbius群中的Jφrgensen不等式＊

李长军，孔玉瑾

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

利用高维Möbius变换群中的Clifford矩阵表示，在二元生成群中当f是双曲元素或严格抛物元素，且f和g有公共不动点时，对f和g的不动点，f和g的交换子的迹之间的关系进行了研究。得到它们等价的一个充要条件，还得出当f和g的交换子是严格抛物元素时，平面上的Jφrgensen不等式在高维空间上仍成立。

Clifford矩阵；交换子；Jφrgensen不等式；初等群

0 引 言

自1976年Jφrgensen提出判定Möbius变换群离散性的“Jφrgensen不等式”，许多数学工作者都在从事研究与“Jφrgensen不等式”相关的Möbius变换群不等式，并且取得较好的结果。特别是1985年，数学家L．V．Ahlfors的杰出工作［1－2］，使高维Möbius变换群和高维Jφrgensen不等式的研究成为研究热点。由于高维Jφrgensen不等式的情形比平面情形较为复杂，在这方面的研究较难取得很大的进展。

本文将文献［3］的一个定理推广到高维情形：

设f∈SL（2，H），定义g0＝g∈SL（2，H），gn＋1＝且f不是运动元素或椭圆元素，如果存在n0∈N使得gn0＝f，那么＜f，g＞是初等群。

注：H表示四元数全体，其元素x＝x0＋x1e1＋x2e2＋x3e3，＝－1，e3＝e1e2＝－e2e1）其中xi∈R，i＝0，1，2，3。若x3＝0，则称x为向量，由于全体向量及H都是线性空间，故将全体向量视为R3，H视为R4。

文献［3］中要求f不是运动元素或椭圆元素，本文考虑了f是双曲元素和严格抛物元素时的情形。另外，本文还利用该定理证明了，当f为双曲元素和严格抛物元素时，高维Jφrgensen不等式是存在的。

1 预备知识

Clifford代数An为由1，e1，e2，…，en－1在实数域R上生成的非交换结合代数，其中ej（j＝1，2，…，n－1）满足e2j＝－1，eiej＝－ejei（i≠j），An中任一元素a能唯一地表示成

其中a0，av∈R，∑是对所有的复指标v＝（v1，v2，…，vp）求和，Ev＝ev1ev2…evp（0＜v1＜v2＜…＜vp＜n－1），a0称为a的实部。……