车 宇,李 康

0 引 言

时空坐标非对易的思想由来已久，早在60多年前就有人提出用时空坐标非对易的概念[1-2]来解决问题.在数学上，有关非对易的讨论很多，但是在相当长的一段时间内，非对易几何并未在物理上受到重视.人们在研究物理问题时，时空坐标一般被认为是对易的.近几年来，随着量子霍尔效应以及弦理论的研究，越来越多的非对易背景上的物理学问题得到了人们的广泛关注.对于超弦理论的研究发现，在弦尺度下出现空间的非对易效应[3].自从弦理论与非对易理论之间的关系被揭示以后，有关非对易空间各种物理问题的研究引起了理论物理学界的广泛重视,并已取得一些成果[4-6].

Wigner函数是著名物理学家Wigner为了对热力学体系做量子修正而引入相空间的一个准概率分布函数[7].Wigner函数既是量子相空间理论的基础，也是实际应用中最主要的工具之一，尤其是对化学物理问题，它确实具有简单而且物理内涵丰富的特点.而量子谐振子是许多复杂模型的基础，它的Wigner函数积分后能写成简单的表达形式，可用来讨论许多实际问题.该文主要把谐振子模型放在了非对易相空间，在有外加电场的情况下，研究二维带电谐振子的Wigner函数.

1 电场中二维带电谐振子的能量本征值和本征函数

先考虑无外加电场的情况下一个质量为μ，频率为ω的二维谐振子，其Hamilton量[8]可表示为

(1)

解其在坐标表象下的Schrödinger方程可得到能量本征值和本征函数，分别为

(2)

(3)

(4)

上式中势能项可以写成

(5)

其中

(6)

(7)

比较式(1)和式(7)，可知在电场中二维谐振子的能量本征值和本征函数分别为

(8)

(9)

引入坐标平移算符：

(10)

它对波函数的作用为

Dx(x0)ψ(x)=ψ(x-x0)，

(11)

则电场中二维带电谐振子的能量本征函数可表示成

(12)

2 Wigner函数

Wigner函数是定义于相空间中的实函数，具有准概率分布函数的性质.它是由Weyl对应规则决定的一种特殊分布函数.关于Wigner函数的能量本征值方程可由下面的星乘本征值方程[9]给出：

(13)

其中

(14)

(15)

则在二维欧氏空间中它可以写成

(16)

3 对易空间下二维带电谐振子在电场中的Wigner函数

通过上面的计算，可知有外加电场时的二维谐振子的波函数与无外加电场时的情况仅相差一个坐标平移变换，因此，为方便起见，先计算无外加电场时的情况[11].根据平移算符的表达式exp(a∂)f(x)=f(x+a)，考虑Wigner函数的星乘本征值方程式(13)，可知

(17)

已知二维谐振子的Hamiltonian(已经选取了μ=1,ω=1)可写为

(18)

将式(18)分别代入Wigner函数的星乘本征值方程式(17)，有

根据上两式得到

(x1∂p1-p1∂x1+x2∂p2-p2∂x2)W=0，

(19)

(20)

(21)

经过简单计算，式(20)可写成

(22)

令W(ξ,η)=W(ξ)W(η)，E=E1+E2，由上式可得到

(23)

(24)

(25)

(26)

这样就得到

(27)

(28)

所以有

(29)

将式(21)代入式(29)，得到对易空间中二维谐振子的Wigner函数：

(30)

(31)

对于基态，有

(32)

这是一个相空间中的Gaussian分布函数，在物理量测量中具有非常重要的意义.

4 非对易相空间下二维带电谐振子在电场中的Wigner函数

在量子力学中任意一个力学量都可以通过一个广义的Bopp变换在非对易相空间中得到定义.已知在非对易相空间中Bopp变换关系[12]为

(33)

(34)

利用Bopp变换，在非对易相空间中，关于Wigner函数的星乘本征值方程又可写成如下形式：

(35)

比较式(34)和(35)可知，非对易相空间中的星乘本征值方程与在对易空间下具有相同形式，只是对变量做了一个Bopp变换.因此，非对易相空间下二维带电谐振子在电场中的Wigner函数为

(36)

(37)

式(37)就是在非对易相空间下电场中二维带电谐振子的Wigner函数.当非对易参数取0时，二维带电谐振子的Wigner函数与对易空间形式相同.

5 结 论

Wigner函数作为最常用的量子相空间分布函数，不仅是一个有效的计算工具，同时也是强有力的理论分析工具.而有关非对易空间物理模型的讨论是现在理论物理学界关注的重点，该文首先通过解Wigner函数能量本征方程的方法计算出在对易空间中二维带电谐振子的Wigner函数，在此基础上根据Bopp变换，最后求解出在非对易相空间中二维带电谐振子的Wigner函数.从结果可以看出，当非对易参数取0时，二维带电谐振子的Wigner函数与对易空间具有相同形式.由于Wigner函数在现代量子测量中具有重要意义，所以这种非对易空间量子效应可望通过Wigner函数被测量到.

[1] Snyder H S. Quantized space time[J]. Phys Rev,1947,71:38-41.

[2] Snyder H S. The Electromagnetic field in quantized space time[J]. Phys Rev,1947,72:68-71.

[3] Seiberg N, Witten E. String theory and non-commutative geometry[J/OL]. High Energy Physics-Theory(1999-11-30)[2009-10-12]. http://arxiv.org/abs/hep-th/9908142

[4] Li Kang, Dulat S. The Aharonov-Bohm effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J C,2006,46(3):825-828.

[5] Li Kang, Wang Jianhua. The topological AC effect on non-commutative phase space[J]. Eur Phys J C,2007，50(4):1007-1011.

[6] Dulat S, Li Kang. Quantum hall effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J C,2009,60(1)：163-168.

[7] Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium[J]. Phys Rev,1932,40:749-759.

[8] 曾谨言.量子力学[M].4版.北京：科学出版社，2007：8184.

[9] Li Kang, Wang Jianhua, Dulat S,etal. Wigner functions for Klein-Gordon oscillators in non-commutative space[J]. International Journal of Theoretical Physics,2010,49(1):134-143.

[10] 李前树,胡旭光.量子相空间中的反应散射理论[M].北京：科学出版社,2000:1-12.

[11] Wang Jianhua, Li Kang, Dulat S. Wigner functions for harmonic oscillator in non-commutative phase space[J/OL]. High Energy Physics-Theory(2009-08-12)[2009-10-12]. http://arxiv.org/abs/0908.1703

[12] Li Kang, Dulat S. The Aharonov-Bohm effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J,2006,C46:825-828.