李付成,谷 峰

(杭州师范大学 理学院,浙江 杭州 310036)

1 预备知识

在这篇文章中假设E是一个光滑的Banach空间,C是E的一个非空闭凸子集.

回顾到：

1) 算子A:C→E称为是单调的，如果〈Ax-Ay,J(x-y)〉≥0,∀x,y∈C；

2) 算子A称为是α-强单调的，如果存在一个常数α>0使得

3) 算子A称为是α-拟强单调的，如果存在一个常数α>0使得

4) 设D⊆C，称Q:C→D是太阳的，如果Q(Qx+t(x-Qx))=Qx，其中Qx+t(x-Qx)∈C,x∈C,t≥0；

5) 映象Q:C→C称作一个保核收缩，如果Q2=Q.如果映象Q:C→C是一个保核收缩，则对所有的z∈R(Q)，有Qz=z，其中R(Q)是Q的值域；

6) 子集D⊆C称为是C的一个太阳非扩张收缩核，如果存在一个C到D的一个太阳非扩张保核收缩；

8) 映象S:C→C被称作是λ-严格伪压缩的，如果存在一个常数λ∈(0,1)，使得

显然，严格伪压缩映象族包含了非扩张映象族作为它的特例.

下面给出一些光滑Banach空间中关于太阳非扩张保核收缩的结果.

命题1[1]设E是光滑Banach空间，C是E的一个非空子集.设Q:E→C是一个保核收缩，并且J是E的正规对偶映象，则下面的条件是等价的.

1)Q是太阳的且非扩张的；

2) 〈x-Qx,J(y-Qx)〉≤0,∀x∈E,y∈C.

命题2[2]设C是一致凸且一致光滑的Banach空间E的一个非空闭凸子集，且T是C到自身的一个非扩张映象，满足F(T)≠∅(F(T)表示映象T的不动点集)，则集合F(T)是C的一个太阳非扩张收缩核.

Reich[3]给出，如果E是一致光滑的且D是C到自身的一个非扩张映象的不动点集，则从C到D有一个唯一的太阳非扩张保核收缩,且它能被如下的构造.

最近，Aoyama等[4]考虑了下面的广义变分不等式的问题：

设A:C→E是一个增生算子,找一个点u∈C,使得

〈Au,J(v-u)〉,∀v∈C.

(Ω)

在该文中，用BVI(C,A)来表示变分不等式问题(Ω)的解集.

Aoyama等[4]证明了变分不等式问题(Ω)等价于一个不动点问题.一个元素u∈C是变分……