陈小山

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

半正定极因子在酉不变范数下的绝对与相对扰动界

陈小山

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

极分解; 酉不变范数; 绝对与相对扰动界

(1)

(2)

(3)

(4)

为了证明本文的结论, 需要用到下面的引理.

引理1[7]设M,N都是n阶Hermite矩阵,S是适当维数的矩阵, 记

Δ=[α,β]⊂,Δ′=(α-δ,β+δ),δ>0.

下面给出Hermitian半正定极因子在酉不变范数下的绝对扰动界.

(1) 当max{r,s}

(5)

(2) 当r=n,s

(6)

(3)当r=s=n时,

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

类似由式(9)与式(10)可得

(12)

式(11)应用引理1得到

(13)

注意到

(14)

结合式(12)、(13)和(14)得到

因此扰动界(5)成立.

(15)

由引理1和式(15)可知扰动界(6)成立; 对r=n,s

(16)

因此由引理1和式(16)即可知式(7)成立. 证毕.

(1)当max{r,s}

(17)

(2)当r

(18)

(3)当r=n,s

(19)

(4)当r=s=n时,

(20)

证明此定理的证明类似于定理1的证法,因此我们只给出(1)的证明过程,其余情况类似可得.

(21)

(22)

(23)

(24)

式(22)应用引理1得到

(25)

又由式(23)和式(24),有

(26)

由式(14)、(25)和(26)可知扰动界(17)成立. 证毕.

[1] CHEN X S,LI W.Variations for the Q-and H-factors in the polar decomposition[J].Calcolo,2008,45:99-109.

[2] CHEN X S,LI W,SUN W.Some new perturbation bounds for the generalized polar decomposition[J].BIT Numerical Mathematics,2004,44:237-244.

[3] LI W.Some new perturbation bounds for subunitary polar factors[J].Acta Math Sinica (Engl Sir),2005,21:1515-1520.

[4] CHEN C H,SUN J G.Perturbation bounds for the polar factors[J].J Comput Math,1989,7:397-401.

[5] 孙继广，陈春晖. 广义极分解[J]. 计算数学,1989,11(3):262-273.

SUN J G, CHEN C H. Generalized polar decomposition[J]. Math Numer Sinica, 1989, 11(3):262-273.

[6] 陈小山，黎稳.酉不变范数下极分解的扰动界[J].计算数学，2005,27(2):121-128.

CHEN X S, LI W.Perturbation bounds on the polar decomposition under unitary invariant norms[J].Math Numer Sinica,2005,27(2):121-128.

[7] DAVIS C,KAHAN W M.The rotation of eigenvectors by a perturbation,III[J].SIAM J Numer Anal,1970,1:1-46.

Keywords： the polar decomposition; unitarily invariant norm; absolute and relative perturbation bounds

【责任编辑 庄晓琼】

THEABSOLUTEANDRELATIVEPERTURBATIONBOUNDSFORTHEHERMITIANPOSITIVESEMIDEFINITEPOLARFACTORUNDERUNITARILYINVARIANTNORM

CHEN Xiaoshan

(School of Mathematics,South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2009-07-10

国家自然科学基金资助项目(10971075);广东省自然科学基金资助项目(91510631000021)

陈小山(1970—),男, 江西吉安人, 理学博士,华南师范大学副教授, 主要研究方向: 数值代数, Email:chenxs33@163.com.

1000-5463(2010)03-0001-03

O241.1

A