任国花,高玉斌

一类谱任意符号模式

任国花,高玉斌

(中北大学数学系,山西太原030051)

运用Nilpotent-Jacobian方法证明了一类有2n+1个非零元的n阶(n≥6)符号模式是谱任意模式.

符号模式矩阵;幂零矩阵;谱任意;极小谱任意

0 引言

元素取自集合{+,-,0}的矩阵为符号模式矩阵,简称为符号模式.若A=[aij]是一个实矩阵,则把由aij的符号为元素所组成的矩阵称为A的符号模式,记为sgnA.对一个n阶符号模式A,A的定性矩阵类定义为

对两个同阶符号模式A=[aij]和～A=[～aij],如果当aij≠0时,～aij=aij,则称～A为A的母模式,A为～A的子模式.显然,符号模式A既是它本身的母模式又是它的子模式.我们称符号模式A的不是它本身的子模式为A的真子模式.对n阶符号模式A,如果存在一个实矩阵B∈Q(A)使B的特征多项式fB(x)=xn,则称A蕴含幂零,B为幂零矩阵.如果对任意n次首1实系数多项式r(x),在符号模式A的定性矩阵类Q(A)中存在一个矩阵B,使得B的特征多项式fB(x)=r(x),则称A是谱任意的.显然,如果A是谱任意的,那么它一定蕴含幂零.如果谱任意模式A的任意一个真子模式都不是谱任意的,则称A为极小谱任意的.对一个n阶符号模式A,若任一矩阵B∈Q(A)是非奇异的,则A是符号非奇异的;若每一个矩阵B∈Q(A)是奇异的,则A是符号奇异的.

谱任意符号模式的概念最早由文[1]提出,并据隐函数存在定理给出了一种证明符号模式是谱任意的Nilpotent-Jacobian方法(下节引理1.1),其后文[2-5]等分别给出了一些n阶的谱任意模式.本文证明了一类有2n+1个非零元的n阶(n≥6)符号模式是谱任意模式,并研究了它的极小性.

1 预备知识

本文研究如下类型的n阶(n≥6)符号模式

引理1.1[1]A是一个n阶符号模式,若B∈Q(A)为幂零矩阵,且B中至少含有n个非零元ai1j1,ai2j2,…,ainjn.把B中的这n个非零元用变量x1,…,xn代替后所得的矩阵记为X,且记X的特征多项式为pX(x)

其中βi∈{+,-},i=1,2,…,n+1.

设B∈Q(A),由于相似矩阵有相同的特征多项式,不妨设B有如下形式:

其中sgn(ai)=βi,i=1,2,…,n+1.

引理1.2 设B∈Q(A)有形式(2),其特征多项式为fB(x)=xn+α1xn-1+α2xn-2+…+αn-1x+αn,则: 1)

2)

证明:(1)

将第i行的x倍加到第i+1行(i=1,2,…,n-3),并依次按第三列展开,得:

因此1)成立.

2)对任意给定的an-1,

引理得证.

下面给出四种具有形式(1)的符号模式A1,A2,A3和A4,其中

(1)βi=-,(i=1,2,…,n-4),βn-3=βn-1=+,βn-2=βn+1=-,βn=+,记为A1.

(2)βi=-,(i=1,2,…,n-4),βn-3=βn-1=-,βn-2=βn+1=-,βn=+,记为A2.

(3)βi=-,(i=1,2,…,n-4),βn-3=βn-1=-,βn-2=βn+1=-,βn=-,记为A3.

(4)βi=-,(i=1,2,…,n-4),βn-3=βn-1=-,βn-2=βn+1=+,βn=-,记为A4.

引理1.3 符号模式A蕴含幂零当且仅当A是A1,A2,A3,A4其中之一.

证明 必要性.设符号模式A蕴含幂零,则存在实矩阵B∈Q(A)是幂零的.不妨设B形如(2),此时引理1.1中,α1=α2=…=αn=0.因为有n个方程n+1个未知数,所以可以用an-1表示出其他的n个变量.从而得:ai=-1<0(i=1,2,…,n-4)

由an-1的取值范围(an-1>0,-1/2

充分性.设实矩阵B∈Q(A)有形式(2).

若(a1,a2,…,an-4,an-3,an-2,an,an+1)=(-1,-1,…,-1,2,-3,5,-3),则实矩阵B∈Q(A1)是幂零的.

若(a1,a2,…,an-4,an-3,an-2,an,an+1)=(-1,-1,…,-1,-1/4,-3/4,1/2,-3/4),则实矩阵B∈Q (A2)是幂零的.

若(a1,a2,…,an-4,an-3,an-2,an,an+1)=(-1,-1,…,-1,-3/4,-1/4,-1/2,-1/4),则实矩阵B∈Q(A3)是幂零的.

若(a1,a2,…,an-4,an-3,an-2,an,an+1)=(-1,-1,…,-1,-2,1,-3,1),则实矩阵B∈Q(A4)是幂零的.引理得证.

2 主要结果

定理2.1 若n阶(n≥6)符号模式A具有形式(1),则A是谱任意的当且仅当A是A1,A2,A3,A4其中之一,且A1,A2,A3,A4的每一个母模式都是谱任意的.

证明:由引理1.3知当且仅当A是A1,A2,A3,A4其中之一时,A蕴含幂零,结合引理1.1和1.3的2),定理得证.

定理2.2 符号模式A1是极小谱任意的.

证明:设T=[tij]是符号模式A1的一个子模式,且T是谱任意的,则:

(1)t1,1≠0且tn,n≠0,否则T的迹恒为正或负.

(2)ti,i+1≠0,i=1,2,…,n-1,否则T是一个2×2的下三角分块矩阵,且T的对角线上的分块矩阵的迹都非零,与“T是谱任意的”矛盾.

(3)tn-1,2≠0,否则T是符号非奇异的.

(4)ti,1≠0,i=2,…,n-4,否则αi≠0.

(5)tn-3,1≠0,否则tn-1,2=0与(3)矛盾.

(6a)tn-2,2≠0,否则αn-3<0.

(6b)tn,2≠0,否则与(6a)矛盾.

(6c)tn,1≠0,否则得αn=a1an+1-a1an-1=a1(an+1-an-1)>0.

所以A1的任意真子模式都不是谱任意的.定理得证.

类似地,可以证明以下定理.

定理2.3 符号模式A4是极小谱任意的.

最后我们指出,对于符号模式A2,A3,若记C为将它们的(n,1)元素βn换为0所得符号模式,用与定理2.2,定理2.3类似的方法可以证明C为极小谱任意的,从而A2,A3是非极小谱任意符号模式.

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A Class of Spectrally Arbitrary Patterns

REN Guo-hua,GAO Yu-bin
(Department of Mathematics,North University of China,Taiyuan030051,China)

A family of sign patterns of ordernwith 2n+1 nonzero entries which are spectrally arbitrary are investigated by using the Nilpotent-Jacobian method.

sign pattern matrix;Nilpotent matrix;spectrally arbitrary pattern;minimal spectrally arbitrary pattern

O157

A

0253-2395(2010)02-0173-04

2009-01-12;

2009-02-03

国家自然科学基金(10571163);山西省自然科学基金(2007011017,2008011009)

任国花(1985-),女,山西孝义人,硕士研究生,研究方向:组合数学.E-mail:renguohua1985@126.com