孙晓霞, 王春华

(合肥工业大学电子科学与应用物理学院,安徽合肥 230009)

自1991年碳纳米管在实验室首次合成以来[1],由于其特有的电学性质和力学性质而受到广泛关注。通过对碳纳米管中的集体激发模式(高频电子波和低频离子波)的研究可以揭示碳纳米管的相关结构和电学性质[2-6]。

由于碳纳米管的电学性质手征特性不同,它既可以显金属性,也可以显半导体性[7]。但金属和半导体性质的碳纳米管结构都可以当作等离子体来处理。文献[2]采取“随机相位近似”的方法对碳纳米管中的波进行了研究,发现既有光学支波模,又有声学支波模 。文献[3,4]采用流体力学模型研究了单壁碳纳米管中的等离子体波。

碳纳米管是一个微纳米结构系统[1],当其中荷电粒子的德布罗意波长和粒子间距可比拟时,粒子的量子效应将不可忽略。文献[8]建立了量子等离子体流体力学模型。文献[5]采用量子等离子体流体力学模型分析了单壁碳纳米管中的离子声波的色散关系,并发现离子声波的频率在长波段对碳纳米管的半径有很强的依赖关系。文献[6]采用量子等离子体流体力学模型对金属性碳纳米管中更低频的静电振荡模式进行了研究。

定义系统中粒子之间相互作用的平均势能与平均动能的比值为耦合参数。系统若为弱耦合系统,表现为气态或液态;强耦合系统,则表现为固态。文献[9]在实验室中成功地分离出单根管壁为正六边形格子的单壁碳纳米管晶体,说明碳纳米管是一个强耦合系统。这样,把碳纳米管当作弱耦合系统采用流体模型是不准确的。本文考虑量子效应,采用强耦合量子等离子体晶格模型,对碳纳米管中的晶格波进行研究,给出并讨论晶格波的色散关系,然后对系统的稳定性进行分析。

1 模型的建立和色散关系的推导

当研究的空间尺度相对较大时,假设碳纳米管是一维无限长的,管壁的半径足够小。这样可以把碳纳米管等效成一维晶格链,粒子均匀分布在晶格链上,且一维晶格链存在于真实的三维空间。规定碳纳米管是沿着x方向,晶格点上粒子(离子)所带电荷为Q、质量为M,粒子之间的距离为a。考虑量子效应,引入库仑屏蔽势,位于(x,y,z)的粒子在空间中任一点(x0,y0,z0)处产生的电势为[10]:

在晶格链中,位于(X0,0,0)处的粒子满足的运动方程为:

采用经典等离子体晶格中晶格波的处理方法[11,12],取扰动(ξ,η,ζ)=(ξ0,η0,ζ0)exp(ikX-iω t),对(2)式进行线性化和傅立叶变换,并且归一化:(x,y,z,r)/a→(X,Y,Z,R),(ω,Ω)/ω0→(ω,Ω),其中 ω0=Q/(Ma3)1/2,得到碳纳米管中晶格波色散关系的一般表达式为:

其中 ,F(X,Y,Z)=R-5e-κR{3X2[1+κ R(1+tanh κ R)]-R2[1+κ R(1+tanh κ R)-2κ2X2×tanh κ R]}cos κ R;R=(X2+Y2)1/2;κ=a/λ为屏蔽参数。

2 讨 论

2.1 色散关系分析

为方便分析,只考虑自激发模式,即晶格波是由于系统本身微小扰动如密度梯度、温度梯度等引起的。因此,波数k是实数。这样,色散关系(3)式、(4)式进一步化简为:

根据(5)式、(6)式,给出色散关系如图1所示。从图1可见,纵波具有声学波的性质,而横波具有高频光学波的性质。在长波段区域(k→0),横波呈负色散关系,即随着波数增加,频率减小。

在屏蔽参数κ取值一定的情况下,当外界约束不够强的时候,纵波和横波是耦合在一起的,如图1a、图1b所示;当约束强度达到一定程度以后,便会出现能隙结构,如图1c、图1d所示。并且能隙的大小和约束强度成正比。

2.2 系统稳定性分析

从晶格波色散关系的角度出发对系统的稳定性进行分析。对自激发情形,如果频率 ω是虚数,即ω2＜0,系统出现不稳定性。对比纵波与横波会发现,在外界约束下,横波将很难出现不稳定性。因此,只对纵波进行稳定性分析。将纵波的色散关系(5)式改写为:考虑到带电粒子在空间产生的电势随距离衰减较快,只需考虑相邻粒子之间的相互作用即可。对(7)式,只要为负时即出现不稳定性,而它的值依赖于屏蔽参数κ,-κ的关系如图2所示。

在剩下的2个稳定的区域,即 0＜κ＜2.80和κ＞6.12,的变化趋势都是相同的,先是增大,然后经过一个最高点后一直减小到0,2个最高点对应的κ值分别为:0.79(图2中 A点)和7.07(图2中D点)。晶格波色散关系将依赖屏蔽参数κ值的大小,如图3所示。由图3可见,随着屏蔽参数κ的增大纵波的频率减小,横波的频率增加。

图1 κ=1.0,不同共振频率Ω下纵波(实线)和横波(虚线)的ω-k色散关系

图2 系统稳定性分析

图3 纵波和横波的色散关系,Ω=3.5

3 结束语

本文采用强耦合量子等离子体晶格链模型研究了一维碳纳米管中的晶格波,可得如下结论:

(1)通过色散关系分析,发现碳纳米管中纵波具有声学波性质,横波具有高频光学波性质。

(2)横波的色散关系依赖外界的约束,弱约束时,纵波和横波是耦合在一起的;约束足够强时,2种波的色散关系曲线分离产生能隙,且能隙的大小与外界的约束强度成正比。

(3)讨论了碳纳米管系统的稳定性,发现在特定的屏蔽参数区内,纵波不再稳定,系统将发生相变而融化,即由固态变为液态,在稳定的屏蔽参数区内,晶格波的色散关系依赖于屏蔽参数的大小。

本文的理论结果对实验室中碳纳米管的制备有一定的参考价值和理论指导意义。而且,通过对比色散关系和实验数据,可以间接测量碳纳米管的系统参数。

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