(兰州大学 信息科学与工程学院，兰州 730000)

1 引 言

正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)是一种典型的多载波调制技术，因其具有抗多径衰落、抗脉冲干扰、频谱利用率高等特点，目前已被广泛应用于如IEEE802.11、IEEE802.16以及欧洲的地面数字视频广播标准DVB-T等[1]多种通信标准中。然而，OFDM有一个非常严重的缺陷——很高的峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio，PAPR)[2]。目前减小PAPR的方法主要有选择性映射法、部分传输序列法、非线性压扩变换法以及星座图扩展法等[3-4]。其中，Y. J. Kou等人提出的星座图扩展方案，可在增加少量发射功率的前提下有效降低PAPR[5]，而且不引入干扰，不需要发送附加信息。 本文针对该方案中搜索次最优映射向量的问题进行研究，提出了一种新的单步峰值最小算法，并将该算法一般化为联合搜索算法。仿真结果表明，与文献[5]的算法相比，本文的算法不仅能够在更低的计算复杂度下获得更高的PAPR抑制增益，而且可以根据实际需要来调整参数，以达到计算复杂度与PAPR之间的平衡，具有很强的应用灵活性。

2 OFDM中的PAPR问题

图1 OFDM系统发射端的结构框图Fig.1 Block diagram of OFDM transmitting terminal

如图1所示，在OFDM系统中高速率的数据流经过串并转换被分为N路低速数据流，其中的每个码元映射为星座图上的一个点，此时数据记为向量X=[X0,X1,X2，…,XN-1]T。经过IDFT(逆离散傅里叶变换)后N路数据被调制到相互正交的子载波上，得到时域的OFDM符号，记为向量x=[x0,x1,x2,…,xN-1]T，其中第n个元素可表示为

(1)

即x中的每一项都是N个频域信号的线性叠加，所以有可能出现很高的峰值。如果峰值太大，超过数模转换器允许的最大值或功率放大器的线性工作范围，则会使发送信号产生畸变，影响接收端对信号的处理，最终导致系统整体性能下降。为了使问题一般化，人们通常用峰均功率比(PAPR)代替峰值来描述这一问题，其定义为

(2)

式中，E{·}表示求均值。

3 星座图扩展技术

利用星座图扩展来减小PAPR的基本思想是：增加码元的星座映射方式，并根据实际发送码元的组合形式来选择具有较小PAPR值的映射方式。

(3)

在图2(b)的映射关系下，假设在长度为N的数据中每种码元出现的概率一样，则其中有两种映射方式的码元个数为3N/4。这样的话，可供选择的映射方式有23N/4种。若N=64，则每次映射需要进行248≈2.8×1014次比较。因此，通过穷举法求最优映射向量是不现实的。

(a)符合格雷码映射的16QAM星座图

(b)扩展后的星座图

3.1 基于条件概率的贪婪算法

对上述问题，许多文章是利用基于条件概率的贪婪算法来求次最优解[5-6]。然而，由于条件概率的计算比较困难，不能直接求解。对于这种问题，数学上一般用去随机化(De-Randomazition，DR)算法[6]来逼近。DR算法的迭代公式中有大量的双曲正余弦计算(详见文献[5]中式(17))，复杂度仍然较高。为了进一步降低计算复杂度，Y. J. Kou等人利用多项式数值逼近来表示双曲正余弦函数，简化了迭代函数，我们称之为PB(Polynomial Bound)算法(详见文献[5]中式(30))。然而，由于多次采用近似算法，DR和PB算法对PAPR的抑制效果也依次被降低。

3.2 单步峰值最小(SPM)算法

文献[7]针对调整发送码元符号位来降低PAPR的方法提出了一种快速有效的贪婪算法。这些符号位作为数据一同进行传输。我们将此算法的核心思想应用到基于星座图映射的PAPR处理框架中，提出了单步峰值最小(Single-step Peak Minimization，SPM)算法。

IDFT(如式(1))是一个线性叠加的过程，我们可以将该过程分解开来看，若每一次只叠加一个调制后的码元(码元与子载波的乘积)，记第s(s=0,1,2，…，N-1)次叠加后时域向量为xs，则其第n个元素为

(4)

当s=N-1时，上式变为式(1)，即为IDFT运算。若已知xs-1，则有：

xs=xs-1+XsFs

(5)

式中，Xs为第s个频域码元，

Fs=[0,ej2πs/N,…,ej2πsn/N,…,ej2πs(N-1)/N]T。

假设第0个到第s-1个码元的映射关系均已确定，要确定第s个码元的映射方式，我们选择使xs峰值最小的一种映射方式，即：

(6)

根据式(6)依次迭代即可求出所有码元的映射方式，这就是SPM算法。此算法每次迭代时最多需要计算2次式(4)，而式(4)中复数乘法运算次数为N，所以要确定每个码元的映射方式最多需要2N次复数乘法运算。

3.3 联合搜索(JS)算法

我们将SPM算法进行扩展后提出了联合搜索(Joint Searching，JS)算法。JS算法的主要思想是，每次联合Jn个相邻码元进行搜索，这样，每次可能的映射组合最多有2Jn种(因为有些码元只有一种映射方式)，通过计算比较可同时确定Jn个码元的映射方式。通过Tn=N/Jn次搜索即可确定N个码元的映射方式(为便于说明，本文只讨论N是Jn的整数倍的情况，而非整数倍的情况类似)。

将IDFT过程分解为Tn次叠加，每次叠加Jn个码元，记第s次叠加后时域向量为xs(s=0,1,2，…，Jn-1)，则其第n个元素为

(7)

当s=Tn-1时，上式变为式(1)，完成IDFT运算。若已知xs-1，则：

(8)

式中，Xk为第k个频域码元，

Fk=[0,ej2πkN,…,ej2πkn/N,…,ej2πk(N-1)/N]T。

假设已知前面0到s-1次叠加时码元(即前面第0个到第sJn-1码元)的映射方式，将第s次叠加时Jn个码元(第sJn到第(s+1)Jn-1个码元)的映射方式记为向量Is=[isJn,isJn+1,…，i(s+1)Jn-1]，则我们在所有可能的Is中选择使xs峰值最小的一种做为该组Jn个码元的映射方式，即:

(9)

根据上式依次迭代则可求出所有码元的映射方式。

该方法中，每次迭代最多需要计算2Jn次式(8)，而每次迭代可确定Jn个码元映射方式，所以平均每个码元需要计算式(8)的最多次数为2Jn/Jn。又因式(8)中有JnN次复数乘法运算，所以每个码元所需要的最多复数乘法次数为

C=2Jn/Jn×JnN=2JnN

(10)

4 仿真及应用分析

仿真采用互补累积分布函数(CCDF)来衡量系统的PAPR分布。仿真系统参数如下：OFDM符号长度N=64，过采样因子为4，符号个数为5 000。

图3比较了经典16QAM星座映射和扩展星座映射(分别用PB、DR和SPM算法实现)的CCDF曲线图。可以看出，扩展星座图后的3种方法都抑制了PAPR，其中SPM算法效果最好，DR算法次之，PB算法最差。图4是联合因子取不同值时JS算法的对比图，结果表明，随着联合因子的逐渐增大，JS算法对PAPR的抑制作用也越来越强。

为了更客观分析JS算法特性，表1给出了各种方法的性能比较。表中的PAPR抑制增益是指：在各仿真图中，纵坐标(CCDF)等于0.001时，16QAM与各种方法的对应横坐标(PAPR0)之差。而计算复杂度则用每种方法的实际仿真时间与SPM算法(即Jn=1时的JS算法)仿真时间的比值来表示，即归一化的仿真时间。随着Jn的增大，JS算法的计算复杂度逐级增长，这也验证了公式(10)的结论。因此，JS算法是在计算复杂度和PAPR抑制增益之间取了折衷，而且我们可以通过修改Jn来调节两者之间的平衡。

图3 SPM 算法与DR和PB算法的比较Fig.3 Performance comparison among SPM, DR and PB algorithm

图4 Jn取不同值时JS算法的比较Fig.4 Performance comparison of JS algorithm with different value of Jn

表1 各种算法性能比较Table 1 Performance comparison of above algorithm

上述仿真系统中的基本参数符合实际情况，如IEEE802.16标准。仿真结果显示，JS算法在复杂度低于PB算法的情况下，仍然将抑制增益提高了2.7 dB(在Jn=1时)。目前，由于OFDM的高PAPR问题，上行链路中一般采用SC-FDM(单载波频分复用)系统，而不用OFDM系统。我们提出的JS算法会使利用星座扩展的OFDM系统应用于上行链路更加可行。星座扩展的方法会使系统发射功率增加，所以在实际应用中还应考虑发射功率方面的可行性。另外，JS算法是针对星座扩展后如何选择映射方式而提出的，并不受限于星座图类型的选择，对于星座扩展类的方法具有普适性。

5 结束语

PAPR问题是OFDM系统面临的主要问题之一，利用星座图扩展减小OFDM的PAPR是一类重要方法。本文针对此类方法，提出了一种新的寻找次最优映射向量的解决方案，即联合搜索(JS)算法。研究表明，该算法给出一种解决OFDM在上行链路中应用的新思路，具有一定的实用价值。为了进一步改进该算法，在本文工作基础上还可从以下方面进行研究：

(1)如果能够给出计算复杂度和PAPR之间的定量关系，则可大大减化实际系统的优化设计；

(2)目前的星座图扩展方法并未考虑导频的特点，在实际系统中导频的映射不能利用扩展后的星座图，而只能用原始星座图。因此，在考虑导频的情况下研究本文算法的性能有很重要的实际意义。

参考文献：

[1] Prasad R. OFDM for wireless communication systems[M]. London:Artech House, 2004.

[2] Bahai A R S, Saltzberg B R. Multi-carrier Digital Communications: Theory and Application of OFDM[M].New York:Mc-Graw-Hill, 1999.

[3] Han S H, Lee J H. An Overview of Peak-to-Average Power Ratio Reduction Techniques for Multicarrier Transmission[J]. IEEE Wireless Communications, 2005,12(2):56-65.

[4] Jiang T, Wu Y. An Overview: Peak-to-Average Power Ratio Reduction Techniques for OFDM Signals[J]. IEEE Transactions on Broadcasting, 2008, 54(2): 257-268.

[5] Kou Y J,Lu W S, Antoniou A. A New Peak-to-Average Power-Ratio Reduction Algorithm for OFDM Systems via Constellation Extension[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2007, 6(5): 1823-1832.

[6] Sharif M, Hassibi B. Existence of Codes With Constant PMEPR and Related Design[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, 52(10): 2836-2846.

[7] Sharif M, Tarokh V, Hassibi B. Peak Power Reduction of OFDM Signals with Sign Adjustment[J]. IEEE Transactions on Communications, 2009, 57(7): 2160-2166.