(重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065)

1 引 言

多项式相位信号(Polynomial Phase Signal，PPS)是信号处理领域中一个具有重要意义的非平稳宽带信号，在通信、雷达、电子对抗、生物医学、声纳、语音等领域有广泛应用。目前，国内外学者大多是针对PPS的相位系数估计进行研究，而对PPS的波达方向(DOA)估计方面的研究甚少。在现代电子通信领域中，精确估计PPS的DOA，实现超分辨测向显得非常重要。线性调频信号(LFM，又称chirp)是PPS的一个特例。当前，LFM信号DOA估计经典的方法有MUSIC、ESPRIT算法等，后来对MUSIC算法提出了一系列改进算法，如求根MUSIC算法[1]、循环MUSIC算法、时频MUSIC算法等，但这些算法都是针对窄带LFM信号的。对于宽带LFM信号，国内学者陶然、齐林等对分数阶Fourier变换(FRFT)的宽带LFM的DOA估计[2]进行了深入研究，并取得了较好的效果；郑州大学的张艳红提出了基于分数阶Fourier变换的宽带LFM信号DOA估计[3]，但是针对大于二阶的多项式相位信号，相关的研究却很少。

2 线性调频信号的阵列模型

阵列模型为M个阵元的均匀线阵(ULA)，阵元间距为d，如图1所示。假设有一LFM信号s(t)，入射角为θ。如果把第一个阵元作为参考阵元，则第i个阵元上的观测信号可以表示为

xi(t)=st-τi+nit，i=1，2，3,…，M

(1)

其中：

τi=i-1dsinθ/c

(2)

st=Aej2πf0t+πKt2+φ

(3)

式中，f0、K和φ分别为LFM信号的初始频率、调频斜率和初始相位，ni(t)为第i个阵元相互独立且与信号无关的高斯白噪声，τi是信号s(t)在第i个阵元相对于第一个阵元的延时，c为光速。

图1 均匀线阵结构示意图Fig.1 The ULA and array model

3 FRFT的DOA估计

3.1 多项式相位变换实现对PPS的降阶

我们考虑多项式相位采样信号模型为

x(n)=s(n)+w(n)=

(4)

式中，0≤n≤N-1，N为采样点数，Δ为采样间隔，am(m=1,2,3,…,M)为PPS的相位系数，M和b0分别为PPS的阶数和幅度，w(n)为均值为零、方差为σ2的高斯白噪声。对于上式的信号模型，τ为延时参数，假设τ和M为正整数。

PPS的一个重要性质就是通过高阶瞬态距(HIM)计算，可得如下信号形式[4]：

(5)

其中：

(6)

φ=(M-1)！(τΔ)M-1aM-1-

0.5(M-1)M！(τΔ)MaM

(7)

M阶多项式相位变换定义为DPM[s(n),τ]的离散时间傅氏变换，对一个振幅恒定的M阶PPS应用M阶算子DPM将该信号变换成单个正弦信号，且其频率w0与最高次项系数aM有关。

(8)

3.2 FRFT实现对LFM信号阵列的窄带化处理

信号x(t)的FRFT定义为[6]

(9)

式中，FRFT的变换核Kp(t,u)为

(10)

式中，n为整数，α称为旋转角度，且α=pπ/2，p为FRFT的阶数，Fp·为FRFT的算子符号，δt为单位冲激函数。

信号xt的FRFT是线性变换，它和Wigner-Ville分布(简称WVD)的关系可解释为时频平面的旋转算子，这一特性决定了FRFT特别适合于处理LFM类信号。如图2所示，与该斜直线相垂直的分数阶Fourier域(FRF域)上求信号的FRFT，则在该域的某点将出现明显的峰值。而噪声的能量均匀地分布在整个时频平面内，在任何的FRF域上均不会出现能量聚集。因此，FRFT在某个FRF域中对给定的LFM信号具有最好的能量聚集[6]。

图2 LFM信号的时频分布及其在FRF域上的投影Fig.2 LFM signal in the time-frequency distribution and projection of FRF domain

对信号st进行p阶FRFT，在α,u平面上，运用分级计算迭代搜索方法对spu进行峰值点的二维搜索，即确定分数阶的搜索范围a,b，确定初始步长Δp1=0.1，估计出分数阶的初始值为p1;再进行二次搜索范围p1-0.1,p1+0.1，确定初始步长Δp2=0.01，估计出分数阶的初始值为p2;再进行三次搜索范围p2-0.01,p2+0.01，确定初始步长Δp3=0.001，直至达到所要求的精度。得到峰值点的位置αq和um，则可得信号的调频斜率和初始频率估计[6]:

(11)

也就是说，当旋转角度α=-arccotK时，spu有最佳的能量聚集。

(12)

式中，i=1,2,3,…,M。

Ap=1，e-j2πτ2u1msinα，…，e-j2πτMu1msinαT

(13)

因此，可得到天线阵列的观测信号在FRF域矢量表达式:

Xp=Apsp+Np

(14)

其中：

(15)

(16)

3.3 求根MUSIC算法实现对信号DOA估计

式(14)中的矢量表达式的协方差矩阵为

(17)

式中，Rps和Rpn分别为信号和噪声协方差矩阵。对上式协方差矩阵进行特征分解，可得λ1>λ2>,…,λQ>λQ+1=λQ+2=…,λm，其中，Q为信号源个数，则信号子空间是由大特征值对应的特征矢量组成的空间，而噪声子空间是由小特征值对应的特征矢量组成的空间。

首先定义如下一个多项式[7]

(18)

式中，ei是数据协方差矩阵中小特征值对应的M-Q个特征矢量，pz=1,z,…,zM-1T。

由以上的定义可知：当z=ejw，即多项式的根正好位于单位圆上时，p(ejw)是一个空间频率为w的导向矢量。由特征结构类算法可知，p(ejw)=p(z)就是信号的导向矢量，所以其与噪声子空间是正交的。因此，多项式可定义为

(19)

因为多项式fz的阶数为2M-1，所以有M-1对根，且每对根是相互共轭的关系。在这M-1对根中有Q个根z1,z2,…,zQ正好分布在单位圆上，即：

zi=expjwi，1≤i≤Q

(20)

上式考虑的是数据协方差矩阵精确可知时的情况，在实际应用中也就是数据矩阵存在误差时，只需求式(19)的Q个接近于单位圆上的根即可。也就是对于等距均匀线阵，根据方向导向矢量Ap可知波达方向

(21)

由以上分析，可总结PPS波达方向估计的算法流程:

(1)初始化，令m=M和xmn=xn，其中，0≤n≤N-1;

(3)令

(22)

其中，0≤n≤N-1;

(4)替换m=m-1，直到m=2为止;

(5)对信号xmn进行P阶的FRFT;

(6)在相应的分数阶Fourier域，进行峰值搜索，根据旋转角度α不变和式(12),可确定峰值点的位置;

(7)由式(13)、(14)、(15)确定信号在FRF域所对应的方向向量;

(8)利用求根MUSIC算法进行DOA估计，估计最终信号的波达方向。

4 仿真实验

4.1 实验一

设信号模型为

xn=sn+wn=

b0expja1n+a2n2+a3n3+wn

(23)

式中，0≤n≤N-1，a1=0.125,a2=0.25/N,a3=0.65/N2，采样点N=360，延时τ=N/3，离散FFT时变换的长度为120×100点。

图3给出了本文PPS分别在没有噪声和SNR=20 dB时，瞬态矩后的信号实部幅值特性图。从图中可以看出，经过瞬态矩后，没有噪声时，信号为正弦信号;当SNR=20 dB时，信号为正弦信号和新的噪声。图4给出了SNR=20 dB时，经过多项式相位变换的谱线分析，从中可以得到该信号的频率，也就是可以得到三阶PPS的最高阶相位系数a3。图5给出了均方误差(MSE) 随信噪比(SNR)变化的曲线图，从图中可以看出，三阶PPS在SNR≥6 dB时，该方法的估计性能接近克拉美罗界(CRB)，而随着信噪比的降低，仿真结果与理论结果产生较大偏差。

图3 三阶PPS的瞬态矩Fig.3 Instantaneous moment of the third order PPS

图4 SNR=20 dB时的多项式相位变换谱线图Fig.4 Spectrum of polynomial phase transform when SNR=20 dB

图5 a3估计值均方误差和CRB随信噪比变化图Fig.5 MSE and CRB of a3 versus SNR

4.2 实验二

在实验一的基础上，结合本文提出算法中的第三步降阶的思想，设和实验一有相同的参数，且入射角θ=70°，快拍数为τ。

图6给出了SNR=10 dB时，PPS按本文提出的思想降阶后的FRFT。从图中可以看出，该信号具有很好的能量聚集性，从而把宽带的PPS转化为FRF域窄带信号。在相应的FRF域，用MUSIC算法，对信号进行波达方向估计，如图7所示，从图中可以看出，能较为准确地估计信号的波达方向。图8给出了阵元数分别为10和6时，多项式相位变换结合FRFT的求根MUSIC算法的DOA估计均方误差随信噪比变化的曲线图，从图中可以看出，均方误差随SNR的减小而增加，在SNR>7 dB时，能较为准确地估计PPS的DOA，同时，在SNR相同时，阵元数为10比阵元数为6的估计性能要稍好些。

图6 PPS降阶后分数阶Fourier域的信号Fig.6 PPS of order lowered in FRF domain

图7 基于FRFT的PPS的DOA估计Fig.7 DOA estimation of PPS based on FRFT

图8 阵元不同时DOA估计随SNR的变化图Fig.8 DOA estimation of different sensors versus SNR

5 结 论

本文提出了一种多项式相位信号波达方向估计的方法，目前有关PPS的DOA估计的文献很少，所以本文为以后在这方面的深入研究打下了一定的基础。由于运用了多项式相位变换降阶，在SNR≥7 dB时能很好地估计出单分量PPS的DOA，但估计多分量的PPS的DOA问题还有待解决。同时，利用分级计算迭代搜索方法对FRF域的峰值点进行二维搜索，计算量大大减小，所以该算法简单。

参考文献：

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[3] 张艳红,齐林,穆晓敏,等.基于分数阶傅里叶变换的WLFM信号DOA估计[J].信号处理，2005,21(4):57-60.

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