付何伟， 金明录， 崔承毅

（大连理工大学 电信学院，辽宁 大连 116024）

0 引言

早在20世纪50年代Hammersley等人就提出序贯重要性采样（SIS）的方法，但其容易导致粒子退化现象，影响了它在实际中的应用。直到1993年，Gordon等人提出了采样重要性重采样算法 SIR[1]这一概念，解决了粒子滤波算法粒子退化的问题，粒子滤波才又被广泛关注，并在各个领域得到了应用。

由于粒子滤波在处理非线性非高斯问题上的优越性，一些学者对粒子滤波的盲均衡算法进行了研究，表明在信噪比较低的情况下，仍具有较好的均衡效果。近年来，各种情况下的粒子滤波盲均衡算法被广泛研究，如文献[2-3]的时不变信道，文献[4-5]的时变信道，文献[6]的加性高斯和非高斯信道等。

1 粒子滤波理论

粒子滤波算法是一种应用粒子集表示概率的蒙特卡罗方法，它的主要思想是用一个随机采样获得具有权重的样本集合表示并估计后验概率密度。基本算法包括两个部分：①SIS；②SIR。接下来，分别介绍这两部分。

1.1 SIS

SIS的核心思想是利用一系列随机样本的加权和表示所需的后验概率密度，从而得到状态的估计值。

假定状态方程和观测方程可表示为：

其中kx为状态矢量，ku为状态噪声，ky为观测值，kv为独立于系统噪声的观测噪声。

选择一个重要性函数 ()qs，假设 ()qs可以分解为：

根据重要概率密度 q (xk|x0:k-1, y0:k)中抽取粒子，则每个粒子的权重可表示为：

此后，对权值进行归一化，得：

1.2 SIR

SIS算法容易出现粒子退化现象，为此引入了重采样的概念。重采样可以消除低重要性权值的样本，同时增加高重要性权值的样本。

1.2.1 多项式重采样

1993年由Gordon等人提出的多项式重采样[1]是各种重采样的基础，基本解决了粒子滤波的退化问题。若粒子数为n,算法步骤如下：①对于粒子1in≤≤，在（0,1]区间按均匀分布采样得到 n个采样值iu；②产生粒子权重累积函数sumweight,满足 sumweight(i)=；③当sumweight(k)＜u(i)时，将第k个粒子经重采样后被复制在第i个位置上；④每个粒子的权重设为1/n。

1.2.2 分层重采样

1999年由Carpenter等人提出的分层重采样，对多项式算法进行改进，将无序的随机数变为有序。将(0,1]分成n个连续互不重合的空间，即：(0,1]= (0,1/ n]U…U((n -1)/ n,1]。再对每个子空间独立同分布采样得到iu，即：iu=U((i-1)/n, i / n)其中U（a,b）表示区间[a,b]上的均匀分布。

1.2.3 系统重采样

系统重采样与分层重采样类似，但每个iu的产生方式不同，若1u～U（0，1/n），则：

1.2.4 降序二分重采样

多项式重采样算法采用的随机数集合是均匀分布的，呈现一种无规律性，当这个集合中的随机数有序排列时，多数情况下得到的滤波结果都优于无序时。而分层重采样算法将随机数区间分成n个连续但不重合的区间，对每个区间采样一个随机数，这样得到的分布集合自动变为有序，因此优于传统的多项式重采样算法。但是，从滤波结果来看，有时分层重采样算法反而不及多项式重采样算法。鉴于这种情况，现提出一种改进算法—降序二分重采样算法，它的主要思想是在分层重采样算法的基础上，寻找权重最大点的过程用折半二分法。仿真结果表明，这种算法的平均性能要优于多项式重采样算法和分层重采样算法。

算法步骤如下：①同分层重采样的第一步；②对每个子空间独立同分布采样得到iu，即：iu=U(1- i / n,1-(i-1)/n)；③同多项式重采样的第二步；④粒子更新过程如下伪代码所示；⑤最后，每个粒子的权重设为1/n。

for i=1: N

lower=1; upper=N;

while((upper-lower≠1))&(sumweight(k) ≠ u(i))

mean=( upper+lower)/2; redistr=

if(sumweight(redistr)≥u(i))

upper=redistr;

else

lower=redistr;

end

end

redistr=upper;

ind(i) = redistr; (表示第 redistr个粒子经重采样后被复制在第i个位置)

end

2 基于粒子滤波的盲均衡

2.1 系统模型

假设通信系统传输 ut∈ {± 1 }，t=0,1,2,…的二进制符号，通过频率选择性衰落信道。当相干时间大于帧长度时，可以在一个帧长度内把信道冲击响应看成是不变的。通信系统中的信号模型可采用：

由于粒子滤波的方法需要采用状态空间模型，因此将上述模型改写如下：

2.2 粒子滤波盲均衡

利用粒子滤波器进行盲均衡的目的是用具有权重的随机采样点表示所需要的后验概率密度,并根据这些采样点和权重对信道和发送的符号进行估值,从而完成对信道的辨识和均衡[7]。采用粒子滤波进行盲均衡的流程图如图1。

图1 粒子滤波盲均衡流程

2.2.1 信道的更新

盲均衡是在输入和信道都未知的情况下，因此假设输入ut∈{±1 }为独立均匀分布的随机变量，信道先验分布服从均值为h-1，方差为 C-1的高斯分布。

经过推导可以证明信道的后验分布的均值和方差有如下表达形式[8]：

由式(10)和式(11)可以更新信道的均值和方差。由于信道的后验分布是服从高斯分布的，均值是其最优贝叶斯估计，所以可以用均值作为信道真实值的近似，即ht= ht，这样在对信道进行辨识过程中就无需对信道的后验分布进行采样，可以降低算法的计算量。

2.2.2 权值的更新

如果从重要性函数 q (x0:t|h,y0:t)中采样得到粒子（m=1,2,…,M,M 是每一时刻的粒子个数），若选用的重要性函数可以分解为如下形式：

此时可得如下结论[8]：

在选择重要性函数时，应使其尽可能接近似然函数，但由于这样选择的重要性函数采样比较困难，因此采用先验概率密度作为重要性函数，即用 p (xt+1|xt)代替重要性函数，这样由式（13）可得权重的更新方程为：

3 仿真结果与分析

仿真实验中，信源采用BPSK调制，采用阶数L=3的时不变信道h=[0.407,0.815,0.407]。

图2为各种重采样算法下信道估计的比较，横坐标为符号个数，纵坐标为信道的平均误差。仿真条件：信噪比为20 dB，发送的比特数为1 000，估计的粒子数为100，结果为仿真100次的平均值。四条曲线分别是降序二分法、多项式重采样、分层重采样和系统重采样算法。仿真结果表明，降序二分法能更快地收敛，用更少的符号个数就可以实现信道的估计。

图2 信道误差——符号个数

图3 为各种重采样算法在不同的信噪比下的信道估计。横坐标为信噪比，纵坐标为信道的平均误差。仿真条件：发送的比特数为1 000，估计的粒子数为100，结果为仿真100次的平均值。从图中可以看出，所提出的算法降序二分法在信噪比较低时就能完成对信道的估计，性能也明显优于其他三种重采样算法。

图3 不同信噪比下的信道误差

图4 不同信噪比下的误码率

图 4为不同信噪比下的误码率。横坐标为信噪比，纵坐标为误码率。仿真条件：发送的比特数为5 000，估计的粒子数为100，结果为仿真100次的平均值。仿真结果表明，提出的算法比其他三种算法的盲均衡性能有所改善。

4 结语

提出了一种新的粒子滤波重采样算法，这种算法将多项式重采样算法和分层重采样算法结合起来，主要思想是在分层重采样算法的基础上，寻找权重最大点的过程用折半二分法。把这种算法应用于信道的盲均衡中，为了易于采样，重要性函数采用先验概率密度，用信道的均值代替信道的真实值，仿真结果表明，这种算法的平均性能优于之前的重采样算法。

[1] GORDON N J, SALMOND D J, SMITH A F M. Novel Approach to Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian State Estimation[J].IEEE Proceeding-F,1993,140(02)：107-111.

[2] LIU J S,CHEN R. Blind Deconvolution Via Sequential Imputations[J]. American Statistical Association. 1995,90(430)：567-576.

[3] MÍGUEZ J,DJURIC P M. Blind Equalization by Sequential Importance Sampling[C].USA：IEEE,2002：845-848.

[4] BERTOZZI T, LE Ruyet D, RIGAL G,et al. Joint Data-channel Estimation Using the Particle Filtering on Multipath Fading[C].French： French Polynesia Proceedings of ICT, 2003：1284-1289.

[5] BERTOZZI T, LE Ruyet D, RIGAL G,et al. On Particle Filtering for Digital Communications[M].USA：IEEE,2003.

[6] PUNSKAYA E, ANDRIEU C, DOUCET A,et al. Particle Filtering for Demodulation in Fading Channels with Non-Gaussian Additive Noise[J]. IEEE Transactions on Communication,2001(49)：579-582.

[7] 王磊，刘郁林，李正东. 粒子滤波理论及其在盲均衡中的应用[J].重庆邮电学院学报, 2005,17(06)：691-694.

[8] 王磊,刘郁林.基于粒子滤波的盲辨识和盲均衡新方法[J].通信学报,2006,27(10)：131-135.