赵迎春，布仁满都拉

（1.赤峰学院初等教育学院，内蒙古赤峰024000；2.赤峰学院数学学院）

不定度规空间内的一类微分算子的自共轭性

赵迎春1，布仁满都拉2

（1.赤峰学院初等教育学院，内蒙古赤峰024000；2.赤峰学院数学学院）

本文建立了一个完备的不定度规空间，并在其上研究了一类带有转移边界条件且权函数变号的Sturm-Liouville算子T，证明了算子T在完备的不定度规空间K中是自共轭的.

Sturm-Liouville算子；完备的不定度规空间；转移条件；权函数

0 引言

不定度规空间上算子理论并不是Hilbert空间上的算子理论逻辑上的推广，而是有着深厚的基础的.它的应用涉及到物理学,数学及力学方面[1,2].本文建立了一个完备的不定度规空间，并在其上研究了一类带有转移边界条件的不定Sturm-Liouville算子的自共轭性.下面给出有关完备不定度规空间的一些基本定义和结论.

定义0.1设鄯是复数域C上的线性空间.[.,.]是鄯上的共轭双线性泛函.即满足

(i)对任何x,y∈鄯,有[x,y]=[y,x].

(ii)对任何α,β∈C,和x,y,z∈鄯有[αx+βy,z]=α[x,z]+β[y,z].

称[.,.]是鄯上的准度规，而称(鄯,[.,.])是准度规空间.对于x,y∈鄯，如果[x,y]=0,那么称x(按[.,.])直交于y,记为x⊥y.如果存在鄯中的非零向量x,满足[x,y]=0，y∈鄯.那么称准度规是退化的.否则,称为非退化的.如果准度规[.,.]是非退化的,则称准度规为度规.相应地,称(鄯,[.,.])为不定度规空间.

定义0.2设(鄯,[.,.])是不定度规空间,x∈鄯.如果满足[x,x]≥0(或[x,x]≤0),那么称x是(鄯,[.,.])上的半正(或半负)向量；如果满足[x,x]>0(或[x,x]<0),那么称x是(鄯,[.,.])上的正(或负)向量；如果[x,x]=0,那么称x是零向量.设M是鄯的线性子空间,如果M中一切非零向量都是正(或负，或零性)的,那么称M是鄯的正性(或负性,或零性)子空间.如果M中一切向量都是半正(或半负)的,那么称M是鄯的半正(或半负)子空间.

定义0.3设M1,M2是不定度规空间的两个线性子空间.如果对一切xj∈Mj,j=1,2都有[x1,x2]=0,那么称M1,M2相互直交.称线性空间M={x1+x2:xj∈Mj,j=1,2}是M1,M2的线性和.如果M1∩M2={0},称M是M……