郝艳花

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

三阶KdV方程一般形式的精确解

郝艳花

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

对求解非线性数学物理方程的F-展开法进行了扩展，并利用齐次平衡原则求出KdV方程的椭圆函数表示的精确解，在极限情形下，得到该方程的三角函数表示的周期波解.

KdV方程 F-展开法 齐次平衡原则 精确解

非线性数学物理方程的精确解在非线性问题中占有重要的地位，现在已有诸多求非线性数学物理方程精确解的新方法，例如齐次平衡方法，F-展开法，Jacobi椭圆函数展开法等等.本文利用F-展开法，结合齐次平衡原则求得了KdV方程一般形式的精确解.本方法可以用来求解其他的非线性数学物理方程.

1 方法简介

考察非线性偏微分方程

其中等式左端为u及其各阶导数的多项式.

利用F-展开法求解方程(1)的步骤如下：

1)先求方程(1)的行波解，即令

其中c为波速.将(2)式代入方程(1)，则方程(1)可化为常微分方程

设u(ξ)可表示为F(ξ)的有限幂级数

其中a-N,…,aN为待定常数,F(ξ)满足方程

这里P,Q,R为待定常数，正整数N由具有支配地位的非线性项与最高阶导数项齐次平衡确定.

2)将(4)式代入方程(3)，再利用(5)式，即可将方程(3)的左端化简为F(ξ)的多项式.再令F(ξ)的各次幂项的系数为零，即可得到关于a-N,…,aN和c的代数多项式.

3)解上述方程组 (可借助 Mathematica或Maple)，可求得由P,Q,R表示的a-N,…,aN和c，将在线结果代入(4)式，即可得方程(1)的行波浓缩公式.

4)给P,Q,R赋值，使方程(5)的解F(ξ)是Jacobi椭圆函数，代入方程(1)的行……