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微分算子的不变子空间的一类应用

2010-09-19饶维亚王世祥

长春大学学报 2010年8期
关键词:维亚归纳法微分

饶维亚,王世祥

(长春大学 理学院,吉林 长春 130022)

微分算子的不变子空间的一类应用

饶维亚,王世祥

(长春大学 理学院,吉林 长春 130022)

通过构造微分运算下的不变子空间,讨论了其性质;利用分块矩阵理论,得到一类矩阵的逆矩阵的求法;从而得到一类不定积分的计算公式,为这类不定积分的计算提供了一种新方法。

矩阵;不定积分;线性变换

0 引言

设V={f(x)|f(x)可微,x∈R},R是实数域。令W是V的k维子空间,且∀f(x)∈W,有D(f(x)∈W,D是微分算子。设f1(x),f2(x),…,fk(x)是W的一组基,则W=L(f1(x),f2(x),…,fk(x)),其中L(f1(x),f2(x),…,fk(x))是由f1(x),f2(x),…,fk(x)的所有线性组合构成的集合。再设矩阵A满足

其中D|w表示D在w上引起的变换。本文寻求利用矩阵A计算W中元素f(x)的不定积分∫f(x)dx的方法。

1 预备知识

证明:(1)用归纳法易证得。

引理2

其中Ptn=n·(n-1)……(n-t-1)。

证明:记

则A2n=Bn-1·Bn-2,……B1·B0,从而由引理1得:

从而式(3)成立。

2 结论及应用

2.1 结论

再由式(1),有(D|S)-1(f1(x),f2(x),…,fk(x))=(f1(x),f2(x),…,fk(x))A-1。

从而由A可求∫f(x)dx。

2.2 应用

证明:记Jn=(sinx,cosx,…,xsinx,xcosx),Sn=L(Jn)。用归纳法证明如下:nn

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[2] 董安广,张才仙.浅谈利用微分算子计算不定积分[J].黑龙江科技信息,2007(9):34.

[3] 高素志,等.常微分方程[M].北京:北京师范大学出版社,1988.

责任编辑:钟 声

The application of invariant subspace of differential operator

RAO Wei-ya,WANG Shi-xiang
(College of Science,Changchun University,Changchun 130022,China)

This article discusses the characteristics of invariant subspace by constructing differential calculation.It obtains the methods for inverse matrix of a class of matrices by using partitioned matrix theory so as to get the calculation formulas of indefinite integral,which provides a new method for the calculation of this kind of indefinite integral.

matrix;indefinite integral;linear transformation

O175.3

A

1009-3907(2010)08-0031-02

2010-07-07

饶维亚(1964-),男,湖北武穴人,副教授,硕士,主要从事应用数学方面的研究。王世祥(1956-),男,教授,主要从事数据库应用方面的研究。

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