李大创，曹卓良

（合肥师范学院 物理与电子工程系，安徽 合肥 230601）

海森堡模型中的量子纠缠

李大创，曹卓良

（合肥师范学院 物理与电子工程系，安徽 合肥 230601）

量子纠缠是量子信息处理的重要资源，海森堡模型是一种简单的能够在固态系统中实现的模型，研究海森堡模型中的纠缠将极大地推动固态量子计算机的发展。本文简单介绍了海森堡模型，外磁场和Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用参量对系统纠缠的影响，以及现阶段的研究进展。此外，文章还进一步提出了在该领域的研究中需要解决的一些问题。

海森堡模型；量子纠缠；外磁场；DM相互作用

1 引言

量子信息科学[1]包括量子通1信和量子计算两个方面。在量子信息理论中，量子纠缠扮演着非常重要的角色，是进行量子通信和量子计算的重要资源。量子纠缠现象是量子力学不同于经典物理的最为奇特、最不可思议的特性，在量子系统中表现了奇特的非局域关联。研究发现的量子信息不同于经典信息的新功能，几乎都可以归结为纠缠现象的应用，例如：量子隐形传态[2]，量子稠密编码[3]，量子密钥分配[4]，量子克隆[5]和量子计算[6-7]等。近年来，量子纠缠的发展在理论上和实验上都取得了不少成果[8-11]。

量子信息科学的一个重要目标就是实现量子计算机。利用量子相干性和纠缠性等基本量子特性，量子计算机可以实现大规模的并行计算和超大容量存储，产生经典计算机无法比拟的信息处理功能和有效模拟量子行为的能力。量子计算机的实现必须既满足量子比特能很好的保持相干性，实现与外界良好的隔离，又满足能精确有效地控制整个系统的演化。因而，寻找合适的能构造量子计算机的物理系统至关重要。由于物理世界本身的要求，要实现大规模的量子计算，就要求构造量子计算机的物理系统必须具有良好的可扩展性和集成性。国内外科学家的广泛研究表明，固态量子系统是最有可能实现量子计算机的物理系统，特别是超导量子比特系统、量子点系统和光晶格系统等。海森堡模型由于是一种简单的能够在固态系统中实现的模型，因而近年来吸引了国内外科学家的广泛关注。

海森堡模型中量子纠缠的研究是一个正在形成的重要研究领域。作为一个简单的并且现实的物理模型，海森堡模型是产生和控制纠缠态的理想模型。该模型已经被用于模拟量子点[12-14]、电子自旋[15]、核自旋[16]和光晶格[17]等系统。

2 海森堡模型

海森堡模型不是具体的物理模型，它是一种数学架构，可以有效地模拟各种固态系统的量子特性。根据自旋-自旋耦合系数的不同，一维海森堡模型可以分为Ising模型[18-19]、XX模型[20-21]、XY模型[22-23]、XXX模型[24]、XXZ模型[25-27]和XYZ模型[28-29]。

在各种海森堡模型中，各向异性XYZ模型是最为复杂的一种模型。包含个量子位的海森堡XYZ模型的Hamiltonian可以表示为：

其中σj(j=x,y,z)是Pauli矩阵，Jj(j=x,y,z)是任意两相邻量子位间的j方向的自旋-自旋耦合系数，Ji＞0对应于反铁磁性模型，Ji〈0则对应于铁磁性模型。

通过改变Jx，该模型可以简化成其它种类的海森堡模型：当Jx=Jy=J≠Jz时，该模型就简化成了部分各向异性的海森堡XXZ模型；当Jx=Jy=Jz=J时，该模型就称为各向同性海森堡XXX模型；当Jx≠Jy,Jz=0时，该模型称为各向异性海森堡XY模型；当Jx=Jy=J，Jz=0时，该模型称为各向同性海森堡XX模型；当只有某一个Jj≠0(j=x,y,z)时，该模型就化简成了Ising模型。在研究一些较为复杂的问题时，人们常常从最简单的Ising模型入手来探索其基本规律。

3 系统参量对纠缠的影响

当考虑磁场和自旋-轨道相互作用的影响时，两量子位海森堡XYZ模型的Hamiltonian一般表示为：

其中

当温度T=0时，一般认为系统处于基态。但在现实环境中，一个真实的物理系统总是存在于有限的温度下，这样人们会很自然地去考虑系统热平衡时的状态（热态）。热态时的系统处于非纠缠态和纠缠态的混合状态，热态时的纠缠称为热纠缠，热纠缠具有不同于其它种类纠缠的稳定性的优点，它在制备过程中，既不需要测量也不需要相互作用的控制。自从M.C.Arnesen等人的开创性工作以来[30]，热纠缠已经在各种系统中被广泛研究：

（I）带有磁场的海森堡模型。F.Kheirandish等人分析了海森堡XYZ模型中Z轴方向的磁场和自旋-轨道耦合对纠缠的影响[31]。张国锋研究了带有磁场的海森堡XXZ模型中的热纠缠，发现随着非匀强磁场绝对值的增加，匀强磁场的临界值增加，而系统能够达到的最大纠缠值却在减少[32]。另外，M.Asoudeh小组讨论了海森堡XXX模型中非均匀磁场对纠缠的影响，发现在铁磁性情况下非均匀磁场对纠缠有很显著的影响，当温度接近零度时，施加很小的磁场就可以产生很大的纠缠，而在反铁磁性情况下非均匀磁场对纠缠则没有这种显著影响[24]。这些工作主要研究了磁场方向沿Z轴时的情况，对于磁场沿其它不同方向时的情况却很少有研究。最近，我们研究了不同方向的磁场对系统纠缠的影响，发现不同方向的磁场具有不同的纠缠控制效率[33-34]。在海森堡XY模型中，匀强磁场的最佳方向在具有最大自旋-自旋相互作用分量的坐标轴上，非匀强磁场的最佳方向在具有最小自旋-自旋相互作用分量的坐标轴上[35]。在其它参量固定的情况下，当磁场沿其最佳方向时，系统具有最大的纠缠和最高的临界温度。

(II)带有Dzyaloshinski-Moriya(DM)相互作用的海森堡模型。张国锋研究了带有DM耦合的海森堡XXX模型，发现引入DM相互作用可以有效提高纠缠[36]。单传家等人研究了带有DM相互作用的海森堡XY模型中的纠缠，发现铁磁性情况下DM相互作用能够把纠缠提高到一个较大的值，反铁磁性情况下DM相互作用可以把纠缠提高到某一稳定值[37]。但这些研究也只考虑了DM相互作用方向沿Z轴时的情况，我们最近研究了不同方向的DM相互作用参量对系统纠缠的影响，发现不同方向的DM耦合参量也具有不同的纠缠控制效率[38]。在海森堡XYZ模型中，最佳DM轴向矢量的方向在具有最大自旋-自旋相互作用分量的坐标轴上，当DM轴向矢量沿其最佳方向时，系统具有最大的纠缠和最高的临界温度[39]。另外，研究还发现对于任意DM矢量来说，其最佳方向也总是在具有最大自旋-自旋相互作用分量的坐标轴上，根据这些规律我们给出了海森堡XYZ模型中热纠缠的最佳参量组合[40]。

总的来说，对于磁场参量，调整磁场大小或磁场方向都可以提高系统的热纠缠；对于DM相互作用参量，调整其大小或方向也同样可以提高系统热纠缠。

另外，许多物理学家最近还把海森堡模型中的纠缠用作量子通道来实现量子隐形传态方案，发现通过调节系统的参量可以控制隐形传态的成功[41-42]，提高隐形传态的保真度[43-44]。这些现象本质上也都可以归因于系统参量对海森堡模型中的纠缠的影响。

4 展望

研究海森堡模型中的纠缠具有重要的理论意义和应用价值，在对该领域的研究中还有许多重要问题需要解决：

第一，在现实世界中，由于真实的物理系统不可避免地会和周围的环境发生作用，因而量子信息处理总是会被外部环境引起的消相干所影响。消相干是一个量子现象，由于与环境的相互作用，量子系统演化时，量子相干性会自动地被破坏。因而在实际情况下，研究环境噪声对量子系统的纠缠的影响就变的非常重要。目前，构造固态量子计算机的最大难题是固态系统的易消相干问题。因此，人们有必要深入研究不同参量下的海森堡模型的消相干机制，以通过对参量的调控来有效地抑制系统的消相干。

第二，高维系统的纠缠性质与二维系统纠缠大不相同，高维量子系统能够承载比二维系统更多的信息，能够提高量子密钥分配方案所能容忍的噪声极限，比二维系统具有更强的容错功能，有助于抑制不可避免的消相干的发生，而且高维量子系统的最大纠缠态比二维系统的最大纠缠态更大程度上违背了局域实在论。对高维系统的研究将会促进量子信息科学的发展和对量子物理本质的理解。因此，研究各种高维海森堡模型中的量子纠缠不仅具有理论意义，还具有重要的现实意义。

第三，海森堡模型中的量子相变问题涉及量子力学和凝聚态物理的基础问题，研究量子纠缠和量子相变之间的关系，将促进这两个学科的融合和发展。

总之，通过对海森堡模型中纠缠特性的研究，可以找到有效提高系统纠缠和有效抑制系统消相干的机制，解决固态系统中存在的问题，从而促进固态量子计算机的实现。对该领域的研究还将极大地推动量子信息科学的发展，并且有助于人们更加深入地理解量子力学的一些基本问题。

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[责任编辑：桂传友]

Abstract:Quantum entanglement is the important resources in quantum information processing,Heisenberg model is a simple model,and can be obtained in solid system,research on quantum entanglement in Heisenberg model will promote the development of solid quantum computer.This paper introduces the Heisenberg model, the effects of external magnetic field and DM interaction parameters on system entanglement,and the progress of the current research.In addition,some problems which need to be resolved in this field are summarized.

Key Words:Heisenberg Model;Quantum Entanglement;External Magnetic Field;DM Interaction

Quantum Entanglement in Heisenberg Model

Li Dachuang,Cao Zhuoliang
(Department of Physics and Electronic Engineering,Hefei Normal University,Hefei,Anhui,230601)

O413

A

1674-1102（2010）03-0036-04

2010-03-09

安徽省高等学校省级自然科学重大研究项目（KJ2010ZD08），安徽省高等学校省级自然科学重点研究项目（KJ2010A287）。作者简介：李大创（1981-），男，安徽宿州人，合肥师范学院物理与电子工程系讲师，博士，研究方向为量子信息。