于文新， 张 谦

（①湖南中移鼎讯通信有限公司,湖南 长沙 410011; ②长沙理工大学 数学与计算科学学院,湖南 长沙 410011）

0 引言

在实际的应用中，信号和噪声总是同时出现的，信号在形成、传输过程中，常因外界噪声干扰而导致其质量退化，如何更好地保护信号和抑制噪声一直是信号处理的热点[1-2]。小波阈值去噪根据噪声通常表现为高频信号的特性，对小波分解的高频系数进行门限阈值处理，达到去噪的目的。

小波包分解是小波分析的进一步推广，它对小波分析没有细分的高频进一步分解，因此可以将高频噪声和高频信号区分开来，从而获得更为理想的去噪效果。由于通常采用的硬阈值函数的不连续性，以及软阈值函数中估计小波系数与带噪信号的小波系数之间存在着恒定的偏差的缺陷, 本文提出了一种基于小波包的新阈值函数,并用Matlab仿真实验表明了该方法的优越性。

1 小波包消噪原理

不论是多分辨分析还是小波包分析，其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近Hilbert空间2()LR的正交小波基（或正交小波包基）。

但随着尺度j的增大，相应的正交小波基函数的空间分辨率越高，而其频率分辨率越低，这正是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随j增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的这一不足。在小波包标架中，其信号消噪的算法思想与在小波标架中的基本一样，只是小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行了细分。在阈值量化过程中，其方法与小波分析一样。

1.1 小波包算法

1.2 无偏估计

其中：分别为小波系数和其估计值。

本文引入一个关于观测值S的函数：

其中：

SURE为上述风险函数的无偏估计，表达式为：

2 阈值消噪原理

阈值的选取主要由小波变换的方法、小波函数的性质以及信号和噪声的性质等因素所决定，阈值规则的选取有很多种。常见的阈值选择分硬阈值和软阈值[3-5]两种处理方式。软阈值处理即把信号的绝对值与阈值进行比较,当数据的绝对值小于或等于阈值时,令其为零,大于阈值的数据点则向零收缩,变为该点值与阈值之差;对于硬阈值处理,是把信号的绝对值与阈值进行比较,小于或等于阈值的点变为零,大于阈值的点不变。

2.1 改进阈值函数及迭代运算的实现

本文采取类Sigmoid函数作为改进的软阈值函数[6-9]。相对其他改进的阈值函数，类Sigmoid函数二阶可导，而且由于类Sigmoid函数本身对渐近线的快速逼近性，当大于所取阈值时，根据类Sigmoid函数选取的小波系数保持与标准软阈值收缩后的小波系数更近的相似性。

类Sigmoid函数所确定的阈值函数为[7]：

式中：x为小波系数，式（4）中，当k=∞时，式（6）为标准软阀值函数。在阀值函数式（6）的条件下，由此可得:

若采用正交小波，由式（2）把均方差分解到各尺度的小波系数中去，在针对每一尺度的小波系数及其估计值进行迭代运算，运算式为：

2.2 小波包消噪处理步骤

信号消噪是小波包分析的一个最基本的应用，通常,它按照如下几个步骤进行：

①信号的小波包分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次N ,然后对信号S 进行N 层小波包分解;

②计算最佳树（即确定最佳小波包基）。对于一个给定的嫡标准计算最佳树。对于 GUI 方式,有一个专门的“Best Tree”按钮用于计算最佳树;

③小波包分解系数的阈值量化。利用式（6）的阀值函数对小波系数进行处理，得到各尺度小波系数的估计值，然后根据利用式（10）得到：

④小波包重构。根据小波分解的第 N 层的低频系数和经过量化处理后的从1 到N 层的高频系数,进行小波重构。

由于对于一个给定的正交小波，一个长度为 2LN= 的信号最多可以有2L种不同的分解方式，这恰好是一个深度为L的完整二叉树的二叉子树的数目，是一个非常庞大的数目。因此，步骤②得出的最佳分解方式，只对最佳树选中的高频系数进行下一层分解。在这4个步骤之中,最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化。从某种程度上说,它直接关系到信号消噪的质量。

3 Matlab实验结果及分析

为了说明新阈值函数的有效性和优越性，对某一含噪信号分 别应用经典的软硬阈值函数和新阈值函数对信号进行小波包降噪处理。将原始信号作为标准信号s(n)，含噪信号为f(n），信号长度为L，信噪比（RSN）公式定义为：

原始信号与估计信号之间的均方根误差(RMSE)定义为：

仿真结果如图1所示。

图1 各种阈值函数降噪结果的比较

降噪信号的信噪比(SNR)和均方误差（RMSE）如表1所示。研究表明，新阈值函数的小波包信号降噪在均方根误差（RMSE）和信噪比（SNR）两个性能指标上均优于经典的软硬阈值函数。

表1 各种方法的均方误差(RMSE)和信噪比(RSN)(dB)

4 结语

信号的信噪比SNR越高，原始信号与估计信号的均方根误差RMSE越小，则估计信号就越接近于原始信号，消噪效果越好。本文在经典的小波软、硬阈值消噪方法的基础上提出了一种基于小波包分析的改进方法即基于改进阈值消噪算法的小波包降噪方法。通过Matlab仿真实验结果表明，本文采用小波包的改进阈值法克服了软、硬阈值方法的缺点，更好地保护了信号并且抑制了噪声，同时，应用此消噪方法的效果比小波消噪方法要好。因而具有一定的工程意义和应用价值。

[1] 尹剑仑,卫武迪.一种改进的自适应中值滤波算法研究[J].通信技术,2009,42(11):241-243.

[2] 刘芬,杨济安.基于小波变换的遥感图像无损压缩算法研究[J].通信技术,2007,40(07):6-8.

[3] Donoho D L, Johnstone I M. Ideal Spatial A Daptation Via Wavelet Shrinkage[J].Biometrika,1994,81(12):425-455.

[4] Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding[J].IEEE Trans on IT,1995,41(03):613-627.

[5] Donoho D L,Johnstone I M.Adapting to Unknown Smoothness Via Wavelet Shrinkage[J].Journal of American Stat Assoc,1995,12(90):1200-1224.

[6] 刘守山,杨辰龙.基于自适应小波阀值的超声信消噪[J].浙江大学学报:工学版,2007(09):1557-1560.

[7] Zhang X P, Desal M D. Adaptive Denoising Based on SURE Risk[J].IEEE Signal Processing Letters,1998,5(10):265-267.

[8] 曲天书, 戴逸松, 王树勋. 基于SURE无偏估计的自适应小波阀值去噪[J].电子学报,2002,30(02):266-268.

[9] 程正军,张运陶.基于MATLAB的小波包分析在信号降噪中的应用[J].西华师范大学学报:自然科学版,2004(03):48-54.