高剑光

0 引言

在飞机外形设计与机械零件加工中，经常遇到许多有2次曲线弧和2次曲面片表示的形状,如圆弧、椭圆弧、圆柱面、圆锥面、椭球面等，这些曲线曲面在设计中需要有明确的表现形式，在制造上又要求有较高的精确度。对于这种曲面的加工，一般是用激光坐标测量仪测出每一断面的一组离散、有序点列，然后对离散点进行曲线拟合。拟合方法是直接用3次样条或参数样条或双圆弧拟合等方法。双曲圆弧拟合算法是常用的一种算法。

1 双圆弧拟合算法

按平面曲线给定一列有序型值点（节点），每相邻节点之间有两条相切圆弧构成，两圆弧通过一个节点，且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线的双圆弧拟合如图1所示。双圆弧拟合有6个参数需要确定：两节点Pi，Pi+1；两节点Pi，Pi+1处的切线斜率；双圆弧的切点T；双圆弧切点处的公切线斜率。前4个参数可由曲线的参数方程按给定参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数的求法不同而不同，但不难证明两圆弧相切点位置结论：相切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧——轨迹弧。

为确保双圆弧的正确拟合，要求：

（1）两拟合圆弧应满足保凸要求，即两相邻节点Pi，Pi+1处切线PiM，Pi+1M需有实交点（沿某切线方向前进时，与另一切线的反向延长线的交点，反之为虚交点）；

（2）拟合的圆弧段需要采用劣弧，即两节点连线PiPi+1与两切线PiM，Pi+1M构成的三角形中2/πβ＜+a（如图1所示）设节点A和B为在第i+1个区间[Pi，Pi+1] 上的相邻节点，有向直线gA和gB为拟合曲线jΓ在A和B上的有向切线。设C是直线gA和gB的交点，a和β分别是gA和gB与横轴的夹角，逆时针方向为正；当aβ＜0（保凸）时，双圆弧同向，为 C形双圆弧。在局部坐标系下，双圆弧圆心和半径可以统一地给出。左圆半径

图1 双圆弧曲线

圆心坐标

右圆半径

圆心坐标

共切点的坐标

其中，αβω−=；θ是左圆弧的圆心角，ω-θ是右圆弧的圆心角；逆时针方向为正；正圆对应正圆心角，负圆对应负圆心角，πθπ＜＜−，L是AB的长度。对于该区间，当切线gA和gB确定之后，选取不同的θ（即选取不同的公切点）决定了双圆弧的参数。这里选取θ=-a，亦即选取三角形的内心作为公切点。

关于双圆弧拟合，目前国内外常用的方法有两种。内向法和交点法。内向法计算简便，但可能法向误差不能保证符合要求。交点法的法向误差较小，但交点计算复杂，需解四次非线性方程，计算量之大可想而知。实际自由曲线拟合绘制过程中，也常采用3次B样条基函数进行拟合运算，为了使得曲线比用折线来代替要绘制的曲线看上去更光滑，应尽可能多地进行曲线上位置点的拟合计算，这样，绘制一条B样条曲线就需要反复多次计算各坐标分量的3次多项式，其计算量也相当大，绘制拟合速度极慢，难以满足实际需要。

2 二次B样条曲线拟合算法

本文提出了一种简单的2次B样条曲线拟合算法，即用两条2次曲线近似一条3次曲线，以期达到计算量小，光滑度也达到要求，提高 B样条曲线的绘制速度，适应各应用领域的快速绘制要求。

2.1 算法及其实现过程

通常情况我们是将4点拟合成一条三次B样条曲线，由于3次曲线有拐点，而2次曲线没有。所以对于4点我们不可能拟合成一条2次曲线，而是用2条2次曲线拼接，中间出现一拐点，来近似1条3次曲线。

算法实现过程如下：

2次B样条曲线段参数方程表示为

显然曲线段从A点出发到C点中止，在A点曲线与直线B-A相切，在C点与C-B相切。（如图2所示）

图2 A、B、C三点控制的曲线段

曲线段由A,B,C3点控制，将它简记为

给定平面上4个点P1,P2,P3,P4拟合成2条相连的从P2到P3的2次样条曲线，方法如下：

在此缩放是避免两条插值曲线段打圈。（如图3所示）

图3 两条插值曲线段打圈情形

乘系数0.293不是一定要这个值，其实可以用其他参数，不超过0.5都合适。取这个值是保证正方形角上4点恰好可以拟合成一个圆。

把T1作为目标曲线在P2点处的一阶导矢，T2作为目标曲线在点P3处的一阶导矢：（如图4所示）

假设组成目标曲线的两条B样条曲线段为

取

通过求导易知在连接点导数都是D2-D1，故两曲线段C在D1和D2的中点(D1+D2)/2处相连且一阶导数连续。

2.2 算法运用实例

给定平面上的一列点P1-P2,……,Pn拟合出一条依次经过这些点的二次B样条曲线。将点列前后各延拓一点，成为P0,P1,P2……,Pn,Pn+1，延拓办法为：将P3做线段P1P2中垂线的镜像，镜像点作为P0，将点Pn-2做线段Pn-1Pn中垂线的镜像，镜像点作为Pn+1。依次将点列P0,P1,P2……,Pn,Pn+1相邻4点按上面的算法拟合成两条B样条曲线段，所有这些曲线段首尾相连，且在结点处的一阶导数连续，它们构成所需要的目标曲线。（如图4所示）做出了给定平面上4个点P1,P2,P3,P4，拟合出依次经过这些点的二次B样条曲线；

图4 过4点拟合的二次B样条曲线

（如图5所示）做出了经过平面上给定的5个点，拟合出2次B样条曲线。同样的方法，可以做出经过给定的 n个点，拟合出的B样条曲线。

图5 过5点拟合的二次B样条曲线

3 算法的比较

用双圆弧拟合离散型值点生成自由曲线，是近年来非圆曲线的零件自动编程与加工中常用的一种数学模型。双圆弧拟合方法以其计算相对简单，总体上一阶光滑，易于局部处理等特点，已得到了较为广泛的应用。但其计算量大。本文讨论的简单的2次B样条曲线拟合算法。采用4点来确定2条2次曲线，用2条2次曲线近似1条3次曲线的方法。既弥补了3次曲线以及双圆弧拟合中计算量大的缺陷，又弥补了2次曲线的不足，具有以下优点：

1、计算量小，快速性。因为拟合采用二次曲线拟合算法，拟合速度较快，而且避免了解大量的方程组，提高了运算速度。

2、光滑性。由于B样条曲线是连续的，且它不通过任何一个控制点（型值点），比Bezier曲线更光滑。

3、局部性。B样条曲线具有非整体性，即改变某一个控制点仅影响其附近的一段曲线，更有效地解决了4个以上控制点的拟合问题。

4 结语

本文针对双圆弧拟合算法绘制一条 B样条曲线需要反复多次计算各坐标分量的3次多项式，计算量大，绘制拟合速度极慢，难以满足实际需要等情况，提出了一种简单的2次B样条曲线拟合算法——采用4点来确定2条2次曲线，用2条2次曲线近似1条3次曲线，既弥补了3次曲线以及双圆弧拟合中计算量大的缺陷，又弥补了2次曲线的不足，更有效地解决了4个以上控制点的拟合问题。

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