张骅毅，范启富

0 引言

磁悬浮轴承(AMB) 是利用电磁力将转轴无机械磨擦、无润滑地悬浮在空间中，并且轴心位置可以由控制系统控制的一种新型高性能轴承。它具有无接触、无磨损、无需润滑、噪声小、寿命长、工作温度范围大等优点，因而具有一般传统轴承所无法比拟的优越性。因此，近20多年来国内外对其研究都颇为重视，用有限元法分析电磁轴承的特性已见于不少文章[1,2]。随着模型规模的增加，在进行系统分析时设计变量增加，大大增加了仿真及优化的计算负担，并且在设计任务变化时，需要解决管理和数据协调上的许多问题，传统的建模和分析方法有时候显得力不从心。

而采用能与 MATLAB无缝兼容的有限元分析软件COMSOL和多学科优化设计软件iSIGHT[3]，就使得设计分析过程方便高效了许多。在整个仿真及优化过程中，由于采用了模块化的方法将COMSOL与iSISHT结合，建立了一个参数可变的磁悬浮轴承模型，使得仿真的灵活性大为提高，从建模到分析及优化设计全部实现了自动化，可扩充并易于维护，提高设计和分析的效率，适合于当前的分析与仿真优化需要以及未来扩展新任务的要求，为磁悬浮轴承的建模、仿真及优化提供了一种快捷而有效的方法。

文中以一个8极径向主动磁悬浮轴承为例，采用了有限元法进行分析，着重研究了如何利用COMSOL对磁悬浮轴承进行建模和仿真，以及如何将基于COMSOL Multiphysics建立的磁悬浮轴承模型集成在iSIGHT中，进行参数优化的过程。

1 磁悬浮轴承的结构和工作原理

磁悬浮轴承的种类很多，按照悬浮磁场的不同，可分为以下3类：主动磁悬浮轴承(Active Magnetic Bearing)，无源磁悬浮轴承(Passive Magnetic Bearing)和混合磁轴承(Hybrid Magnetic Bearing)。

以上3种磁悬浮轴承中，目前常用的是主动磁悬浮轴承(AMB)，主动磁悬浮轴承是高度机电一体化产品，由电磁铁、转子构成控制对象，并与位移传感器、控制器、功率放大器一起组成闭环控制系统。它是利用定子上的电磁线圈与转子上的铁磁材料之间的吸力，实现支承的新型高性能轴承，其特点是电磁力是可控的，通过检测被悬浮转子的位移，实现控制系统对。

磁场进行主动调节控制，从而使转子的运动满足预定的要求。本文研究的是主动磁悬浮轴承。

现设轴承电磁铁绕组上电流为I0，则它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡时，转子处于悬浮的平衡位置，这里所谓的平衡位置，是指作用在转子上的所有力之和等于零时所对应的位置，这个位置也称为参考位置。设计磁悬浮轴承就要使转子始终能处于稳定的平衡状态。因此，本文利用相关软件方便的对磁悬浮轴承建模，并对其进行仿真及优化处理，来实现轴承的稳定运行和控制[4]。

2 磁悬浮轴承的电磁场分析

磁悬浮轴承是利用电磁力实现旋转轴的悬浮，因此在轴承设计时，必须采用电磁原理计算电磁轴承所能产生的最大电磁力。对磁悬浮轴承电磁力的分析计算主要有两种方法：解析法和有限元法。

2.1 解析法

在线性近似分析中，假设除气隙外，磁通全部流过铁芯(无漏磁)，忽略铁心材料磁阻影响；由于磁性材料的磁导率与空气相比要大得多，磁力线离开磁铁时几乎是垂直的。交变磁场的波长比起磁场的几何尺寸大得多，因此可以认为系统是静态场。

在如图1所示的磁悬浮轴承中，假设线圈的偏磁电流为I0，上、下线圈电流为I0±i,i为控制电流，则解析法计算上、下两对磁极产生的电磁合力为

其中，0μ为空气磁导率；N为线圈匝数；g为气隙宽度；，A为磁极面积[5]。

图1 八极磁悬浮轴承结构图

由于在解析法计算中作了大量的近似，因而结果与实际值存在较大误差，导致转子受力特性的计算和磁悬浮轴承的结构参数设计不够精确。因而只能作为辅助方法来参考计算。而用有限元方法计算轴承的磁场时，考虑了铁磁材料的磁阻及其非线性等因素的影响，其计算结果与实验结果非常吻合，有足够的准确性，因此本文采用有限元法来仿真磁悬浮轴承。

2.2 有限元法

有限元法是磁场计算中最常用的一种数值计算方法。它是一种以变分原理和分片插值为基础的数值计算方法。首先利用变分原理把所要求解的磁场边值问题转化为相应的变分问题，也就是泛函的极值问题，然后利用剖分插值， 将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，最后归结为一组多元的代数方程组。求解代数方程组，即得待求边值问题的数值解。在磁场分布和变化比较复杂且非线性严重的情况下，有限元法精度最高，又大大降低了计算量。本文所讨论的磁悬浮轴承具有非线性饱和磁路、磁场变化复杂，因此适合用有限元法进行分析。

在平面磁场中，一般情况下可以忽略轴承中的涡流效应，因此磁悬浮轴承特性的计算，归结为求解磁轴承的稳态磁场分布问题。

有限元法把变分问题离散为普通多元函数的极值问题，最终把磁悬浮轴承磁势函数的边值问题为归结为一组代数方程组(2)。即在给定的求解场域和边界条件下，求出使能量泛函达到极小值的函数。

其中,J(A z)为能量泛函；Ω为求解区域；Γ1为第一类边界；J z、A z分别为电流面密度矢量J、磁势矢量A沿Z轴方向的分量。

经离散化处理, (2)式变为一个关于各节点磁位Az或各节点磁感应强度B的线性代数方程组。这样根据 Maxwell应力张量法,就得到作用在磁悬浮轴承上的电磁力为

(3) 式中，σ为曲面上的表面应力张量，称为Maxwell面应力张量，n为曲面S的单位法向矢量[6]。

3 利用COMSOL Multiphysics对磁悬浮轴承的建模和仿真

COMSOL Multiphysics是专为同时描述和模拟多种物理现象而开发的、基于有限元分析的软件包，其中可使用AC/DC模块来对磁悬浮轴承进行建模和模拟。与其他常用的有限元分析软件不同，COMSOL是从 MATLAB 中的Toolbox发展而来，因而它保留了同MATLAB 之间的完善的接口，可以与MATLAB完全兼容，这就为用户建模和仿真优化设计带来了方便，也为进一步的应用提供了更大的灵活性。

在COMSOL中，本文采用MATLAB语言编写并建立参数化模型，使得磁悬浮轴承可以方便的调整参数，自动生成新的模型，为下一步iSIGHT的优化提供了接口[7]。

以一个八极径向磁悬浮轴承为例，其中轴承的材料为硅钢片50W350，其磁化曲线如图2所示。轴承内径为52.8mm，外径109.2mm，气隙为0. 4mm，轴承宽度为50mm，线圈匝数为160匝。为方便分析, 对一对磁极施加电流1. 2A。

图2 轴承材料的磁化曲线

在COMSOL Multiphysics中，首先进行几何建模，再经过网格化并求解后，得到磁悬浮轴承的电磁场分布如图3所示，颜色越深表示磁感应强度越大。可以看到，磁场分布是不均匀的，磁感应强度最大的点出现在磁轭与磁极连接过渡尖角处。

图3 COMSOL求解出的磁场分布

同时，从图4可以看出，磁悬浮轴承模型的磁力线大部分集中于磁极及其对应的转子部分，对称分布，且电磁回路中存在着一定程度的漏磁现象，因此有限元方法得到的气隙磁感应强度比解析法得到的略小，最终，采用Maxwell应力张量法得到的电磁力大小为122.9N，与解析法得出的结果基本一致。

图4 磁力线分布情况

4 对磁悬浮轴承的优化设计

iSIGHT是一套可整合设计流程中所使用的各项软件的工具，并且能自动进行多学科最优化设计的软件系统平台。传统的优化方法就是利用建模工具建立所需要的模型，然后导入到分析软件，进行产品的分析。而通过iSIGHT和COMSOL的集成，用户可编制针对不同问题的优化方法，并可以任意嵌套和组合各种算法，从而通过智能化的探索，选择新的设计点，执行仿真和优化分析流程，并使这一过程自动化。在每次循环过程中，可以实时监控运行过程，设计问题的输入、输出参数可以在执行过程中通过定制的表格显示，这样就提供了方便的管理模式和控制手段。

4.1 问题描述

仍以上述磁轴承为例，磁悬浮轴承的主要作用是提供幅值足够大的可控电磁吸力。因此，优化问题转化为如何设计轴承系统参数，使磁悬浮轴承提供的足够大的电磁力；同时，从经济性考虑，应使轴承外径最小，从而可以节约成本，达到优化的需要。

即：满足单位长度承载力的要求F≥f0，在此前提下轴承外径最小。

约束条件应为：导磁材料的 B-H特性要求工作磁通量密度低于最高允许磁通量密度，使得磁悬浮轴承运行在磁化曲

4.2 iSIGHT与COMSOL Multiphysics的整合

如图5所示，COMSOL通过编程集成到iSIGHT中，采用批处理的方式运行，格式为comsolbatch.exe MyText。其运行结果在每次优化过程中被iSIGHT调用，然后再将处理后的值传递给COMSOL来进行下一次计算。

在iSIGHT优化过程中，每次调用COMSOL时都会按当前参数自动生成一个磁悬浮轴承模型，得到当前的磁场分布、电磁力等变量值，这样就为接下来磁轴承参数的优化提供了方便。

图5 iSIGHT与COMSOL Multiphysics的整合

本例的iSIGHT优化系统主要包括如下几个文件：FenceIn.txt、FenceOut.txt、CallComsol.bat、isight.desc。各文件的主要功能和作用如下所述。

1) CallComsol.bat调用一个用MATLAB语言编写的m文件，用于从输入文件中读取磁悬浮轴承的参数，然后在COMSOL中进行模型的调用和仿真；同时，将COMSOL的计算结果写入到输出文件FenceOut.txt中，供iSIGHT进行优化分析；

2) FenceIn.txt、FenceOut.txt为系统输入输出文件，储存每次仿真的轴承模型参数。

3) isight.desc为iSIGHT工程文件。iSIGHT集成COMSOL后生成，是系统的优化执行文件。

系统的总体架构流程如图6所示

图6 iSIGHT优化流程图

4.3 优化结果

为避免在局部出现最优解的情况，本文采用iSIGHT中提供的多岛遗传 (Multi-Island Annealing) 算法对磁轴承模型进行优化。从模型的优化过程可知，电磁力与磁极宽度成正比的关系，随着磁极宽度的增大，电磁力明显提高，考虑到工程实际情况，若超过允许的上界，电磁力可能进一步提高，但会破坏轴承的几何结构，此时轴承已失去实际意义。最终得到的优化结果如表1所示。

表1 轴承尺寸的优化结果

可以看到，轴颈宽度，磁极面积等参数都得到了改善。优化后得到的电磁力为135.6N，轴承半径为52.9mm。与初始值电磁力122.9N，轴承半径54.6mm相比，优化后，电磁力得到了提高，增加了 9.3%。同时，磁悬浮轴承的外径也适当的减少，满足了优化的要求。

5 结束语

本文基于有限元分析软件COMSOL Multiphysics和优化软件iSIGHT，对主动磁悬浮轴承系统进行了仿真和优化。为磁悬浮轴承建立起相应的模型并得到轴承的磁场分布，并对其模型进行了优化，得到了满足要求的模型参数，同时，也为进一步的进行磁轴承的多物理建模和分析以及多学科设计优化等，提供了一个可行的途径。可以看出，iSIGHT结合COMSOL Multiphysics软件对许多产品进行建模仿真及优化设计，都会是一个方便快捷并且行之有效的方法。

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