谯生有

(中铁一局集团第五工程有限公司, 陕西宝鸡 721006)

在铁路轨道精调测量中,通常利用实测10 m或30 m弦线的矢距值与理论矢距值比较进行轨道轨向的调整。对于圆曲线而言,理论矢距值的计算公式比较简单,但在缓和曲线段以及直线跨越缓和曲线、缓跨越圆曲线等特殊情况下的弦线理论矢距值计算比较复杂,如果应用坐标转换进行计算,可以简化计算程序,取得良好的应用效果。

1 计算原理

图1 弦线矢距计算示意

2 计算公式的推导

2.1 在xoy坐标系内计算点坐标计算

一条铁路曲线一般由第一直线段、第一缓和曲线段、圆曲线段、第二缓和曲线段、第二直线段共5段组合而成,因此曲线坐标计算相应分5种情况分别计算。

假设：计算线路的第一直线起点里程为KQ,ZH点里程为KZH,HY点里程为KHY,YH点里程为KYH,HZ点里程为KHZ,第二直线终点里程为KZ,圆曲线半径为R,曲线偏角为α,缓和曲线长为l0,弦线长为D,计算点P的里程为KP。

弦线矢距的大小与曲线转角的偏向无关,所有计算公式均按照右偏曲线进行计算,且计算范围无断链,如有断链应对线路里程进行换算。

坐标计算时,以弦长代替弧长推算计算点里程,对于半径为500 m的圆曲线,利用弦长代替弧长推算计算点坐标,最终计算30 m弦的矢距误差小于0.1 mm,半径越大误差越小。因此,利用弦长代替弧长进行计算产生的矢距计算误差可以忽略不计。

(1)第一直线段坐标计算

x=KP-KZH

(1)

y=0

(2)

计算时,KQ≤KP≤KZH。

(2)第一缓和曲线坐标计算

(3)

(4)

l=KP-KZH

(5)

其中l为计算点至ZH点的弧长。

计算时,KZH≤KP≤KHY。

(3)圆曲线坐标计算

x=R×sin((180×l-90l0)÷π÷R)+m

(6)

y=R×(1-cos((180×l-90l0)÷π÷R))+p

(7)

(8)

(9)

其中m为附加切距,p为曲线移动量；

计算时,KHY≤KP≤KYH。

(4)第二缓和曲线坐标计算

l=KHZ-KP

(10)

x=-x′cosα+y′sinα+(T+Tcosα)

(11)

y=-y′cosα-x′sinα+Tsinα

(12)

l=KHZ-KP

(13)

(14)

(15)

其中l为计算点至HZ点的弧长,x′、y′为计算点在以HZ点为原点,HZ至交点为x′轴的临时坐标系坐标。

计算时,KYH≤KP≤KHZ。

(5)第二直线段坐标计算

x=T+(T+KP-KHZ)×cosα

(16)

y=(T+KP-KHZ)×sinα

(17)

T=m+(R+p)tan(α÷2)

(18)

其中T为切线长。

计算时,KHZ≤KP≤KZ。

2.2 矢距计算

h=(y2-y1)cosβ-(x2-x1)sinβ

(19)

其中tanβ=(y3-y1)÷(x3-x1),直接应用反正切函数计算时应根据方位角所在的象限进行判断,一般利用计算器极坐标反算函数“Pol(x3-x1,y3-y1)”可直接计算出极角和极距,极角就是β。

3 卡西欧fx-5800P矢距计算程序

变量列表如表1所示。

表1 变量列表

程序清单：

程序名“QXSJJS”

6→ Dim Z：“K-Q”？B：“K-ZH”？G：“K-Z”？E：“PIANJIAO”？A：“BANJING”？R：“L0”？C

C÷2-C∧(3)÷(240R2)→M:C2÷(24R)-C∧(4)÷(2688R∧(3)→P

πRA÷180+C→L:(R+P)×tan(A÷2)+M→T

Lbl 1：“XIANCHANG”？D：“K-XQD”？Q∶1→N

Lbl3∶If N>3：Then Goto F ：Else Goto 4 ：IfEnd

Lbl4∶If KE：Then Goto 5 ：Else Goto 6 ：IfEnd

Lbl6∶If K

Lbl7∶K-G→Z[2N-1]： 0→Z[2N]：N+1→N ：Goto2

Lbl 8∶If K

Lbl 9∶K-G→S：S-S∧(5)÷(40R2C2)+S∧(9)÷(3456R∧(4)C∧(4))→Z[2N-1]:

S∧(3)÷(6RC)-S∧(7)÷(336R∧(3)C∧(3))→Z[2N]:N+1→N ：Goto2

Lbl A： If K

Lbl B： K-G→S：R×sin((180S-90C)÷π÷R)+M→Z[2N-1]:

R×(1-cos((180S-90C)÷π÷R))+P→Z[2N]: N+1→N ：Goto2

Lbl C： If K

Lbl D： G+L-K→S：S-S∧(5)÷(40R2C2)+S∧(9)÷(3456R∧(4)C∧(4))→X:

-(S∧(3)÷(6RC)-S∧(7)÷(336R∧(3)C∧(3)))→Y:

-Xcos(A)+Ysin(A)+(T+Tcos(A))→Z[2N-1]:

-Ycos(A)-Xsin(A)+Tsin(A)→Z[2N]: N+1→N ：Goto2

Lbl E：T+(T+K-(G+L))×cos(A)→Z[2N-1]:

(T+K-(G+L))×sin(A)→Z[2N]: N+1→N ：Goto2

Lbl F：Pol(Z[5]-Z[1],Z[6]-Z[2]):

“SHIJU=”：Fix 4：Abs((Z[4]-Z[2])cos(J)-(Z[3]-Z[1])sin(J))→H◢Norm 1:Goto 1

4 结束语

坐标转换法计算曲线矢距具有原理简单,便于编制计算器程序的特点,并且能解决弦线一端位于直线另一端位于缓和曲线、弦线位于缓和曲线或弦线一端位于缓和曲线另一端位于圆曲线等特殊情况下弦线矢距的计算问题。

[1] 李青岳，陈永奇.工程测量学[M].北京：测绘出版社,1995

[2] 谯生有. 积分法编制FX-4800P计算器线型通用计算程序[J].铁道勘察,2005(3)：22-24