摘 要:提出一种基于新模型的机器人计算力矩鲁棒跟踪控制。首先利用反馈控制技术,把多关节机器人动力学模型转化成一个线性状态方程。然后基于此线性状态方程,应用李雅普诺夫函数设计思想,针对不确定性有界的要求,设计连续鲁棒补偿控制器来抑制不确定性对机器人控制系统的影响。根据所选控制器中个别参数的不同,分别使机器人系统满足全局指数稳定(GES),全局渐近稳定(GAS)和全局一致终值有界(GUUB)。

关键词:机器人;鲁棒控制;指数稳定;渐近稳定;终值有界

中图分类号:TP242文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)19-116-03

Robust Tracking Control for Uncertain Robot

ZHOU Jinglei

(Heze University,Heze,274000,China)

Abstract:A new kind of computed torque robust tracking control for robots based on a new model is proposed.First,the robotic dynamical model is transformed into a linear state equation via feedback control technique.Then,based on the linear state equation together with the Lyapunov stability theory,the robust compensated controller corresponding to the bounded uncertainty is designed to attenuate the effect of unexpected uncertainty to robotic control systems.With the different parameter selected in the controller,the robotic systems can achieve Globally Exponentially Stable (GES),Globally Asymptotically Stable (GAS) and Globally Uniformly Ultimately Bounded (GUUB).

Keywords:robot;robust control;exponentially stable;asymptotically stable;ultimately bounded

0 引 言

过去一二十年里,对于不确定性机器人控制系统得到了广泛的研究,产生了多种控制方法,有基于计算力矩控制[1-3],有基于自适应控制策略[4,5],也有基于神经网络控制方法[6,7]等。自适应控制和神经网络控制属于智能控制范畴,就目前而言,设计这方面的控制器还有一定的难度和复杂度,而基于计算力矩控制器,其理论简单,设计方便,这就是为什么在大多数应用场合还会选择这方面控制器的原因,这也使研究机器人的计算力矩控制器有着重要的意义。文献[1,2]给出了一种不确定性机器人的鲁棒跟踪控制策略,通过改变控制器个别参数的取值范围,可以达到三种稳定性结果:GES,GAS和GUUB。不过文献[1,2]所设计的控制器有需要改进的地方:上述文献对于机器人动力学模型转化的结果是一个复杂的模型,那么针对复杂模型所设计的控制器也将是复杂的;上述文献所设计的控制器都是一分段控制器,这样在不断切换过程中将会产生一定的抖振现象。基于此,本文应用反馈控制理论将机器人动力学模型转化为一个简单的模型,然后设计出一连续控制器。理论和仿真证明,当改变控制器的个别参数,本文设计的控制器也能够得到上述三种稳定性结果。

1 数学准备

引理1 设A,B为向量或矩阵,若有:

‖A‖≤a,‖B‖≤b

那么必有:

‖AB‖≤ab,A,B为合适维数的矩阵;‖ATB‖≤ab;A,B为相同维数的列向量。

引理2(指数稳定性定理) 考虑如下非线性动态系统:

=f(x,t),x(t0)=x0, x∈Rn(1)

如果存在连续可微的正定函数V(x,t)及正常数λi(i=1,2,3),ε和α(α>λ3/λ2),使对于(x,t)∈Rn×R,有:

λ1‖x‖2≤V(x,t)≤λ2‖x‖2,

(x,t)≤-λ3‖x‖2+εe-αt

则系统状态x(t)是按指数收敛的,并且有:

‖x(t)‖≤V(x0)λ1+ελ1(α-2β)1/2e-βt

式中:指数收敛率为β=λ3/(2λ2)。

引理3(渐近稳定性引理) 对于系统式(1),如果有:

(x,t)≤-λ3‖x‖2+φ(t),φ(t)>0

且有limt→∞ φ(t)=0,则系统状态x(t)是全局渐近收敛的。

引理4(终值有界性引理) 对于系统式(1),如果有:

(x,t)≤-λ3‖x‖2+ε

则系统状态x(t)是终值有界的,并且有:

‖x(t)‖≤λ2λ1‖x(0)‖e -λt+λ0(1-e -λt )1/2

式中:λ0=ε/(λ1λ),λ=λ3/λ2。

2 机器人系统描述

基于拉格朗日方程的n关节机器人动力学模型可由下面二阶非线性向量微分方程来描述:

M(q)+C(q,)+G(q)=τ+f(2)

式中:q,,∈Rn为关节的位移、速度及加速度;τ∈Rn为广义关节力矩向量;M(q)∈Rn×n为机器人的惯性矩阵;C(q,)∈Rn×n为离心力、哥氏力的非线性耦合矩阵;G(q)∈Rn为重力项;f∈Rn为外部不确定性干扰。该机器人模型具有如下性质(有界性)[8]:M(q)为对称正定矩阵,且对于所有的q都是有界的,即存在正数λm≤λM满足如下不等式:

λm≤‖M(q)‖≤λM

对于外界不确定性干扰需要满足假设,即假设外界不确定性干扰f有界。

3 控制器设计

令h(q,)=C(q,)+G(q),则式(2)变为:

M(q)+h(q,)=τ+f(3)

定义机器人跟踪误差e=q-qd(qd为机器人的期望运动轨迹,为二阶可导)。把误差代入式(3)可得:

M(q)(+d)+h(q,)=τ+f(4)

选择如下鲁棒控制律:

τ=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)+M(q)u(5)

式中:Kv,Kp为选定的正定增益阵,分别可理解为微分和比例增益。为简便起见,往往都可设其为对角阵。不难发现,上述所选择的控制律可以被看成是由两部分组成的,不妨称第一部分为前馈控制,它只与自身的结构有关;第二部分为反馈控制,它包含外界控制输入量。把这两部分分别记为:

τff=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)

τfb=M(q)u

当不存在外界不确定性干扰时,该机器人系统称为标称系统,在这种情况下,只用前馈控制就能保证系统的稳定性。本文将要考虑不确定干扰,这种情况下仅用前馈作用就不能保证稳定性,因此需要反馈控制来抵消不确定性干扰的影响,以增强系统的鲁棒性,那么下面的目的就是设计控制输入u,使得机器人系统满足一定的稳定性目的。

由式(3)～式(5)得到系统误差动态方程:

M(q)(+Kv+Kpe)=M(q)u+f

进一步可将其转化成如下状态方程:

=Ax+Bu+BM-1(q)f

x=e,A=0 I-Kp-Kv,B=0I

如果再令d=M-1(q)f,则得到更简单的线性状态方程:

=Ax+Bu+Bd(6)

由于A是稳定阵[9],根据李雅普诺夫函数稳定性理论可知,对于任意给定的正定矩阵Q存在正定矩阵解P满足下面的李雅普诺夫方程:

ATP+PA=-Q(7)

根据M(q)的有界性和对外界干扰f所做的假设,则能够找到一个正常数ρ满足不等式(8):

‖d‖=‖M-1(q)f‖≤ρ(8)

由上面的描述,能够建立下面的结论。

定理1 对机器人动力学模型所转化成的模型式(6),采用如下连续鲁棒控制律:

u=-BTPxρ2‖xTPB‖ρ+Ψ(t),Ψ(t)>0,衪>0(9)

当Ψ(t)分别满足引理2中Ψ(t)=εe-αt,引理3中limt→∞Ψ(t)=0和引理4中的Ψ(t)=ε或者limt→∞Ψ(t)=ε时,系统可以分别达到三种不同的稳定:GES,GAS和GUUB,显然满足GES也必满足GAS。式中P为李雅普诺夫方程(7)的正定解。

证明:

对于系统(6)构造如下李雅普诺夫函数:

V(t,x)=12xTPx

显然有:

λmin(P)‖x‖2≤‖V(t,x)‖≤λmax(P)‖x‖2

λmin(P)和λmax(P)分别是矩阵P的最小和最大特征值。

沿由系统(6)和(9)组成闭环系统的解轨迹,对李雅普诺夫函数V(t,x)进行微分得:

(t,x)=12()TPx+xT12P

= 12xT(ATP+PA)x+xTPB(u+d)

把式(7)和式(9)代入上式,并进行简单的通分化简即可得到:

(t,x)≤-12xTQx+‖xTPB‖ρ‖xTPB‖ρ+Ψ(t)Ψ(t)

进一步化简得:

(t,x)≤-12λmin(Q)‖x‖2+Ψ(t)

式中:λmin(Q)为矩阵Q的最小特征值。

当Ψ(t)分别满足上述引理2～引理4中的不同条件时,那么就会使系统满足不同的稳定,结论得证。

4 举例仿真

以两关节机器人机械手为例[10],说明所设计控制器的有效性。这里取期望轨迹为:

qd1=0.5sin t+0.1sin 3t-0.2sin 4t

qd2=0.1sin 2t+0.2sin 3t-0.1sin 4t

误差初始值为:

e(0)=-1.0-0.5T,(0)=0.5-0.5T

再令Kp=diag(4,4),Kv=diag(2,2),Q=I4,ρ=2,λ1=10,λ2=6,λ3=3,α=5,φ(t)=1/(10t+1),f=[0.5sin t0.5sin t]T。仿真结果如图1所示。

图1 轨迹的误差仿真曲线

图1中每个图都是仿真关节1的误差曲线,从图中不难看出它们都取得了很不错的结果。具体说来,第一个控制器(保证系统指数收敛)是最好的,使得系统状态收敛速度既快又精确,第三个的收敛速度和精确度就稍逊一点,不过能够通过选择收敛速度更快的函数φ(t)和更小的常数ε,使得GAS和GUUB更快,更精确。这里,选取图1(a)中ε=6,图1(c)中ε=0.005。

5 结 语

首先利用反馈控制技术把基于拉格朗日方程的机器人动力学模型转化成一个线性模型,然后利用现代控制理论中李雅普诺夫函数思想设计出一个连续的鲁棒控制器,通过改变控制器中个别参数能够使机器人系统分别达到了三种稳定性要求,即GES,GAS和GUUB。理论和仿真均说明该文中的方法和控制器都是有效的,这种方法还能够用于其他方面的控制器设计中。

参考文献

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