柳春光，李会军

(1. 大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，大连 116024；

2. 大连理工大学建设工程学部，大连 116024)

在国内外，可靠度在钢筋混凝土框架、桥梁等领域有不少的研究，并取得了不少成果．如文献[1]提出了一种高效的基于矩阵的系统可靠度算法；文献[2]针对非线性钢框架结构的可靠度与敏感性分析，将节点坐标、杆件截面特性作为随机参数，验证了几何缺陷对结构可靠度有很大影响；文献[3]考虑了地震可靠度评估方法，为了得到不同动力响应量的数值可靠度统计，在双频域中建立了推导公式；文献[4]通过应用能量原理来计算基于可靠度的钢结构评估方法．

但对大跨度空间网格结构的可靠度、相关性与敏感性研究刚刚起步，国内外文献寥寥无几．文献[5-7]从抗力分项系数与体系可靠度方面对空间结构进行可靠度计算；文献[8]在双层柱面网壳结构的可靠度分析当中，针对一次二阶矩不足，提出了一种线性可行方向算法，并提出了基于失效曲面样本点修正几何可靠度指标的方法；文献[9]在网架结构的混合优化问题中，提出了两种基于可靠度的优化方法．

笔者将两种光滑材料模型引入到大跨度空间结构的可靠度、相关性与敏感性计算中，并应用 4种搜索验算点法进行可靠度与敏感性计算；对双层柱面网壳整体进行系统可靠度计算，研究了响应量间的相关性，得出一些有价值的结论；通过引入光滑材料模型及应用 4种搜索验算点的方法使得非线性有限元可靠度计算在满足计算精度的情况下计算更易收敛，效率更高，并且使得按照常规方法不能收敛的问题也变得收敛．本文计算依托于面向对象的软件框架 Open-Sees(open system for earthquake engineering simulation)，OpenSees是由美国Berkley加州大学的太平洋地震研究中心(PEER)集成和开发的，它具有集成已有程序库和分析组件的能力．

1 非线性有限元的可靠度分析

1.1 寻找设计点

设计点是约束优化问题的解[10]

式中：y是在标准正态空间的随机向量；y*是设计点；G是功能函数．以上的等式约束问题(G(y)＝0)可以转换成不等式约束问题(G(y)≤0)，即

求解过程中经常会遇到，对于某些特定的非线性问题，必须处理梯度∇G(y)的不连续问题，否则会导致搜索方法不收敛，对此，通过引入光滑材料模型解决了梯度不连续性的问题．

1.2 光滑材料模型

1.2.1 单轴光滑双线性材料

双线性模型有两个阶段，即弹性和塑性阶段．在弹性阶段，切线刚度等于 E；在塑性阶段，刚度等于bE，其中 0〈b〈1．从弹性状态向塑性状态过渡的应力是由 σy′确定的．在实际的应用当中，通常采用单轴双线性材料模型来模拟钢的性能，有时在非线性有限元可靠度分析当中会遇到不收敛的情况，借此提出了改进的材料模型，即光滑材料模型，目的是避免在屈服点处发生梯度不连续，通过引入光滑的圆弧段来完成从弹性到塑性的过渡[10]，圆弧与弹性响应和塑性响应均相切，切线刚度在相交点重合，见图 1[10]．由于应力应变的不同刻度比例，光滑线在正则化的 x′-y′平面内给出，在此平面内屈服强度等于1.0，相应的屈服应变是 η′-1，其中 η′＞0，可以自定义其大小；第二个参数是γ′，其大小为 0〈γ′〈1，它表示屈服强度与在弹性响应相交的部分．为了获得正确的滞回性能，在每一步分析中，必须对圆心坐标进行修正．

图1 光滑材料模型与原始双线性模型对比Fig.1 Comparative curves of smoothed and original bilinear models

为了确定光滑圆弧段的尺寸[10]，对圆心坐标和圆弧段的半径(见图 2)进行推导，在标准化坐标平面当中，弹性刚度是 η′，硬化刚度是 bη′，Ax′和 Ay′分别代表圆心的横纵坐标值，C是屈服点，B、D 分别表示圆弧段与弹性段和强化段的交点．

图2 圆弧段圆心的确定Fig.2 Determination of center of circular segment

由于篇幅所限，圆弧段的更新过程与增量响应方程在这里就不多介绍，具体参见文献[10]．

1.2.2 单轴Bouc-Wen材料模型

单轴光滑 Bouc-Wen材料模型[10]是由 Bouc和Wen提出，Baber和 Noori对原始 Bouc-Wen模型进行了拓展[11-12]，添加了退化性能，OpenSees中就使用这种模型．应力是线性部分和滞回部分之和，即

式中：ε为应变；z为滞回变形；α′是屈服后的刚度与弹性刚度的比值．为引入退化段，Baber和 Noori推导了滞回变形的变化率，即

式中：β、γ′和n是控制滞回环形状的参数；而变量A、ν和η′控制材料的退化．模型可被重写为

可以看出刚度是由线性项和滞回项共同组成．

材料退化的更新由如下规则控制：

1.3 搜索验算点方法

篇幅所限，对 4种搜索方法只做简单介绍，具体推导过程见文献[10]．

1.3.1 梯度投影法

梯度投影法是本文几种方法中解决式(1)的最简单的方法，其最主要特点是在极限状态面上完成搜索．对于非线性有限元可靠度计算，由于不可能在极限状态面上直接精确地找到试算点，因此，首先假定极限状态平面是线性的，然后利用求根法使得试算点映射到极限状态面上．

1.3.2 改进的HL-RF方法

HL-RF方法首先是由Hasofer和Lind提出的，后来被Rackwitz和Fiessler拓展到了非正态随机变量，Liu、Zhang和Der Kiureghian通过引入线性搜索法对此法进行了改进[13]．

这种方法的搜索方向可以看成是梯度投影法的一个拓展．梯度投影法假定试验点在极限状态面上，而 iHL-RF则不是，iHL-RF在梯度投影法的基础上添加了一项，应用了牛顿类型的求根法来解决的．

1.3.3 Polak-He方法

此法是由Polak和He于1991年提出的，用来求解非线性优化的一种算法．其主要优点：它本身特有的“控制参数”使得搜索在可靠域中完成．

1.3.4 连续二次规划法(SQP)

SQP方法是优化分析中一种十分有效的方法[14]，在独立标准正态变量空间，SQP方法的基本原理是基于下列等效无约束Lagrange方程

2 大跨度双层柱面网壳的系统可靠度与相关性

计算系统的失效概率是一个复杂的过程．在OpenSees中，系统可靠度是由原始蒙特卡罗抽样方法和计算概率界限来完成的．串联系统失效概率的边界值是用所谓的KHD边界法来计算的[15]．下限

式中：Pk是第k个功能函数的失效概率；Pkl是第k和第l元件的联合失效概率，后者需要进行2个元件的并联可靠度分析，在 FORM 分析当中，是通过Pkl≈Φ(-βi,-βj,ρij)来估算的，其中βi和βj为可靠度指标，ρij为相关系数，Φ(⋅)是双正态累积分布函数，由下式计算

3 参数重要性量度

参数重要性量度是有限元可靠度分析的一个有价值的副产品．对于特定的功能函数，可根据重要性量度来对模型参数的相对重要性进行排列，从中可以获得对问题的感官理解，也可以通过忽略一些不重要的随机变量来减小问题的计算量．

重要性量度可以通过 FOSM 响应统计分析和FORM可靠度分析得到．在进行FOSM分析时，重要性量度可以通过其对功能函数方差的贡献来得到．

中心点法中功能函数的一次泰勒展开[10]为

在标准正态空间中，′α绝对值的大小表示了相应随机变量的重要性程度．′α为正值时，表示是一个荷载变量；其值为负时，表示抗力变量[10]．

在无量纲的标准正态空间当中，α′是一个有效的重要性量度．但是，当随机变量间存在相关性时，y和原始随机变量x就没有一对一的映射关系，在这种情况下，y中的重要性顺序与 x的重要性顺序不一致．在设计点处考虑线性概率转换y＝T(x)，则有

相应的方差为

当随机变量的统计独立时，γ＝α．

接着，来获得随机变量均值和标准差的重要性量度，应用可靠度敏感性量度

式中∂y∗/∂μ和∂y∗/∂σ是在设计点处通过对可靠度转换y＝T(x)微分而得到的．∂β/∂μ和∂β/∂σ不能直接比较，这是由于随机变量有着不同的单位，通过各自的标准差对式(30)和式(31)进行缩放来得到重要性量度

式中∇μβ和∇σβ是列向量．

在 OpenSees中，定义了 4个重要性量度的参数α、γ、δ和η，它们是FORM输出结果的一部分．

4 大跨度双层柱面网壳的可靠度、相关性及灵敏度研究

利用一个简单桁架结构验证了引入的光滑材料模型的合理性和高效性；然后应用 ANSYS的优化模块对双层柱面网壳结构进行合理优化，利用优化后的网壳模型进行可靠度分析计算；接着以 OpenSees为平台，成功地将光滑材料模型引入到大跨度空间钢结构的可靠度、相关性和灵敏度的计算当中，并利用ANSYS提供蒙特卡罗优化模块，验证了在大跨度空间钢结构中引入光滑材料模型的合理性与高效性．

4.1 简单桁架结构的可靠度对比分析

为验证引入的光滑双线性材料模型和 Bouc-Wen材料模型的可靠性和高效性，以一个简单桁架为例，如图 3所示. 模型基本参数为：7个弦杆采用相同的横截面 Φ32×2.5，其面积 A′＝231.69,mm2，弹性模量E为 2.1×1011,N/m2，节点 1和 3双向约束，节点 2处作用向下的集中力P＝110 kN，分别采用两种光滑模型对桁架结构进行可靠度计算，用 ANSYS提供的蒙特卡罗法对结果进行验证，以杆件横截面面积(对数正态分布)、集中载荷(正态分布)和弹性模量(正态分布)作为随机变量，其均值和方差分别为：μA′＝231.69,mm2，标 准 差σA′＝ 23.169,mm2；μE=,2.1×1011,N/m2，标准差σE＝4.2× 109,N/m2；μP＝1.06,P＝116.6,kN，标准差σP＝0.074,P＝8.14,kN．以下弦中节点2、上弦节点4和5的竖向位移和给定位移之差作为功能函数．经过计算，两种光滑模型下的可靠度指标列于表1．

图3 桁架示意(单位：米)Fig.3 Truss diagram(unit: m)

表1 采用两种光滑材料模型计算得到的可靠度指标与ANSYS蒙特卡罗计算结果对比Tab.1 Comparison of reliability indexes obtained by using two smoothed material models and Monta-Carlo method

从表 1可以看出，在指定 3个功能函数中，采用两种光滑材料模型计算的可靠度指标与蒙特卡罗法计算的结果基本一致，微小误差可以忽略不计，因此引入的光滑材料模型有足够的精度．图4为采用双线性光滑材料模型时，其3个节点可靠度指标的迭代过程，从图4中可以看出，可靠度指标越大，需要越多的迭代次数和越长的迭代时间；节点4与5的可靠度指标迭代过程重合，这是由于结构载荷的对称性所致，与实际情况相符．

目前，程德金正在进行山野朴实餐厅分店的筹备工作，他说：“我真心喜欢生态有机农业，我相信来用餐的客人们也是如此。我们都是志同道合、追求健康的同道中人。”

图4 采用光滑双线性模型后可靠度指标迭代过程Fig.4 Iteration process of reliability indexes using smoothed bilinear model

4.2 双层柱面网壳模型的建立

建立曲率半径为40,m、跨度为69,m、纵向长度为100,m 的双层球柱网壳模型(见图 5)，跨度方向划分为24个网格，纵向划分为25个网格，模型共有1,250个节点，4,800个杆件，在 ANSYS进行计算优化时，杆件采用link,8单元，在OpenSees中采用TRUSS单元，弹性模量为2.1×1011,N/m2，密度7,850,kg/m3．网壳两纵向节点采用三向约束，荷载大小选取为2,kN/m2，将均布荷载等效为结点荷载，施加在各节点上．

首先对双层柱面网壳结构进行优化设计．网壳杆件截面形式不宜过多，过多则给施工带来困难；将杆件横截面面积作为优化对象，将上层跨向杆件横截面面积统一指定为设计变量A1、上层纵向杆件横截面面积为设计变量A2、下层跨向杆件横截面面积为设计变量 A3、下层纵向杆件横截面面积为设计变量 A4、腹杆的杆件横截面面积为设计变量 A5，以网壳的最大节点竖向挠度小于规定挠度值和杆件最大轴应力达到屈服强度为状态变量，以总用钢量的体积 Vtot为目标变量，在 ANSYS中进行优化设计，首先通过单步运行法进行初步优化，然后通过扫描法进行最终优化．总共进行了34步优化设计，第34步为最优序列，

5种杆件横截面面积和网壳总体积的优化过程见图6(a)和 6(b)，选取优化后的大跨度双层柱面网壳作为可靠度和敏感性分析的研究对象．

图5 双层柱面网壳模型Fig.5 Double-layer cylindrical lattice shell model

图6 优化序列曲线Fig.6 Optimization series curves

4.3 大跨度双层柱面网壳的非线性有限元可靠度、灵敏度及相关性分析

4.3.1 各随机变量概率模型

各随机变量的概率模型及数字特征见表 2和表3[16]，杆件截面面积 A1的柱状图见图 7(a)，最大挠度Dmax的柱状图见图7(b)．

4.3.2 不同材料模型间的耗时与精度比较

为深入比较两种光滑材料模型的计算效率与精度，为得出非线性与线性得出的可靠度指标的区别，对网壳又进行了静力有限元可靠度分析，考虑了两种情况：①以荷载 P为随机变量；②以荷载、弹性模量及截面面积为随机变量，应用 SQP搜索设计点方法进行可靠度计算，计算结果见表 4，如果只考虑线弹性，网壳的可靠度指标大于非线性可靠度结果；以荷载作为随机变量时，光滑双线性模型的计算速度最快，接下来是光滑 Bouc-Wen材料模型，最慢的是原始双线性模型，其迭代次数远多于前两者，且两种光滑材料模型具有计算精度高的特点，与原始双线性模型相比误差为 2%．第二种情况也得出类似的结论，只考虑线性情况时计算速度最快，两种光滑材料模型有着计算速度快、精度高的特点，二者的优点显而易见，而原始的双线性模型需要的迭代次数要远远多于二者，耗时多．

4.3.3 光滑材料模型及几种算法的应用

在可靠度与敏感性计算中，将两个光滑材料模型引入到大跨度空间结构的可靠度与敏感性计算当中，使得可靠度计算更加易于收敛，下面将结合4种搜索验算点方法进行可靠度分析，即 iHL-RF法、投影梯度法、Polak-He算法和SQP算法．

图7 参数柱状图Fig.7 Histogram of parameters

考虑两种情况：①以荷载 P作为随机变量；②以荷载P、弹性模量E和杆件横截面面积共同作为随机变量．为了方便计算，以挠度规定值与网壳节点竖向最大挠度值之差作为唯一功能函数，计算结果见表5．当只以荷载P作为随机变量时，共有650个随机变量，可以看得出 SQP算法速度最快， Polak-He算法次之，其他两者较慢，4种算法精度均足够高；最后以荷载、弹模及杆件横截面面积作为随机变量，计算速度由快到慢依次是：SQP算法、Polak-He算法、iHLRF算法和Gradient Projection算法．可见SQP法和Polak-He算法效率较高，引入的两种光滑模型使得可靠度计算很快地收敛，并应用蒙特卡罗法验算了几种方法的精度．

表2 随机变量的分布信息Tab.2 Distribution information of random variables

表3 随机变量均值与方差Tab.3 Mean and standard deviation of random variables

表4 应用SQP算法考虑几种材料模型的耗时、收敛程度与精度比较Tab.4 Comparison of time-consuming，convergence and accuracy among several material models using SQP algorithm

表5 应用光滑双线性材料模型及不同算法之间的耗时和精度比较Tab.5 Comparison of different algorithms in time-consuming and accuracy as-pects using smoothed bilinear material model

4.3.4 网壳结构的系统可靠度及响应量的相关性研究

在结构体系可靠度分析中，有可能出现至少两种形式的相关性，即单个构件间的相关性和失效模式间的相关性．这些相关性往往对体系可靠度分析结果产生较大影响，因此必须加以考虑．在实际应用中，这些相关性通常由它们的功能函数间的相关系数来反映．在结构体系可靠度分析中，两个功能函数的相关性常由一个所谓定限相关系数ρ0划分高级相关或非高级相关，ρ0一般取0.7～0.8．若两功能函数的ρzizj＞ρ0，称它们为高级相关，否则为非高级相关[17]．利用该关系可使体系可靠度计算过程得以简化．

因此，对所有节点竖向位移不超过固定允许位移值为功能函数，每个节点定义一个功能函数，研究各个功能函数的相关性．计算完成后，取出其中一榀桁架(见图 8)，分析该榀桁架上各节点挠度间的相关性，由于该榀桁架相关系数矩阵过大(47×47)，因此表6给出了其中节点挠度较大区域内的相关系数．从表6中可以看出上层节点与下层紧相邻的节点间的挠度相关性很强，相关系数均在 0.9以上，属高级相关，局部出现负值，说明二者位移方向相反．图 9绘制出了该榀桁架上层中部节点13与其他节点的挠度相关系数曲线，从图中可以看出，节点 13与附近的节点12、14、86～89 等位移高级相关，而与节点 2～7、19～24、76～81和 94～99为负相关，这说明了这些节点位移与节点13位移运动方向相反，当节点13有向下的位移时，这些节点群将发生向上的位移，这些情况均与实际情况相符．

图8 一榀桁架示意Fig.8 Diagram of single frame

表6 网壳一榀内位移较大处节点间的相关系数Tab.6 Correlation coefficients for nodes with higher displacements

图9 节点13竖向挠度与同榀其他节点相关系数Fig.9 Correlation of deformations between node 13 and others

4.4 大跨度双层柱面网壳的非线性有限元灵敏度分析

重要性量度可以通过 FORM 可靠度分析得到．在标准正态空间中，γ′的绝对值的大小表示了相应随机变量的重要性程度．在无量纲的标准正态空间当中，γ′是一个有效的重要性量度．

经过对大跨度单层球面网壳的非线性有限元灵敏度计算，得到了灵敏度相关结论．图10为随机输出参数最大挠度Dmax、最大轴应力与 A1～A5、P和E灵敏度图，可以看出，对于最大挠度来说，对 A1最为敏感，上层跨向杆件的横截面面积大小直接影响着网壳挠度的大小，其次是下层跨向杆件的截面积尺寸的大小 A3，接着是腹杆的横截面面积 A5，然后依次是 A4、A2、载荷与弹性模量，其中弹性模量的影响可以忽略不计. 因此控制网壳最大挠度最有效的手段是增加上层跨向杆件的横截面面积，A1直接影响着最大挠度的大小；对于最大轴应力来说，对载荷最为敏感，其次是上层跨向杆件的横截面面积大小，接着是 A3、A5和A2，弹性模量与 A4的影响可忽略不记，因此又可以看出控制网壳最大轴应力最有效的手段也是增加上层跨向杆件的横截面面积，A1直接影响着最大挠度的大小，A3也对其影响很大．

图10 响应量对各随机变量敏感度Fig.10 Sensitivity of response quantities to random variables

篇幅所限，下面仅考虑最大挠度的情况，即可靠度指标对随机变量均值、方差的灵敏度指标δ和η．

表 7列出了可靠度指标对随机变量均值和标准差灵敏度指标，图 11、图 12分别列出了各随机变量均值和标准差灵敏度指标．从表7和图11中发现载荷的均值对网壳杆件的最大轴应力影响最明显，载荷和 A5的增大都会降低可靠度指标，A1～A4和弹性模量的增加都会提高可靠度，其中 A1和 A3的增大会明显地提高可靠度指标，A1与 A3正是网壳上下层横向杆件的横截面面积，增加二者面积可以有效控制此类双层柱面网壳杆件的最大轴应力．

表7 随机变量均值、标准差灵敏度指标Tab.7 Sensitivity index of mean and standard deviation of random variables

从表7和图12中发现任意一个随机变量的变异性增加都将降低可靠度指标，随机变量载荷、A1和 A3变异性的影响最显著，腹杆的截面面积 A5也较明显，其他几个变量的变异性影响较弱．

图11 随机变量均值灵敏度指标Fig.11 Sensitivity index of mean of random variables

图12 随机变量标准差灵敏度指标Fig.12 Sensitivity index of standard deviation of random variables

5 结 论

(1)在大跨度双层柱面网壳的可靠度、相关性和灵敏度计算中引入了两个光滑材料模型，并应用新的搜索验算点方法进行可靠度、相关性和灵敏度计算，解决了对于特定的材料模型约束函数的不连续的梯度导致搜索方法不收敛的问题，引入的两种光滑模型使得非线性有限元可靠度计算更易收敛，并且使得按照常规方法不能收敛的问题也变得收敛．结果表明，引入的光滑材料模型在大跨度空间结构的可靠度、相关性与敏感性分析中简单易行，效率和精度均较高．(2)对双层柱面网壳整体进行系统可靠度计算，研究了响应量间的相关性，得出一些有价值的结论，如同榀桁架中相邻节点间的相关程度和同榀桁架中各节点间的相关程度．在大跨度空间双层柱面网壳的可靠度、相关性与敏感性计算中，SQP法效率最高，其次是 Polak-He算法，Polak-He算法是一种很有效的搜索方法，而 iHL-RF法和梯度投影法效率相对较低，耗时较多．

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