于志军，陶 杨，孙吉良，孙伟奇

（1.91206 部队，山东 青岛 266108；2.海军航空工程学院 研究生管理大队，山东 烟台 264001）

在地面附近，由于空气粘性的作用，风速往往是不均匀的，会形成图1所示的风剖面，这种现象称为风切变。尤其是低空风切变，会严重威胁到飞机在空中的飞行姿态，能使飞机连续不断地颠簸，甚至造成机毁人亡的后果[1-3]。所以，加强对风切变影响下飞机运动特征的研究具有重要意义。如未作特殊说明，本文接下来的研究内容均为铅垂平面内飞机的运动。

图1 风切变剖面图

1 飞机纵向运动方程

1.1 未考虑风切变时的运动方程

在未考虑风切变对飞机纵向运动的影响时，风速w=0，飞机的地速v 与空速u相等。此时，在航迹—机体坐标系下的运动方程为：

式中：m为飞机质量；P为发动机推力；α为几何迎角；Q为飞机所受的空气阻力；θ为航迹倾斜角；Y为飞机所受的升力；zω为绕机体z轴（z轴垂直于飞机对称平面，指向右为正）的转动角速度；Mz为绕机体z轴的力矩；eP为发动机推力线与飞机质心之间的偏心距离。

此外，还存在如下关系：

式中，ϑ为俯仰角。

1.2 考虑风切变时的运动方程[4]

在存在风切变的情况下，飞机的地速v，空速u与风速w的关系式为：

把式(4)投影到气流坐标系中，有

式(6)展开后得到

显然，式(1)的第三个方程可以抛弃。

式(8)与式(1)的第三个方程共同组成风切变下的纵向运动方程。

2 纵向运动方程的小扰动线性化方程

2.1 方程线性化的一般方法

飞行器的任何一个运动都可以写成如下形式：

式中：x,y,…是运动参数或者它们的时间导数。那么运动参数可以表示成基准量 a*与偏量 ∆a 之和x=x*+∆x,y=y*+∆y,…，则式(9)可写成：

在基准点(x*,y*,…)处展开成Taylor级数，并只保留一阶小量[5-7]，则式(10)可表示为：

因为基准运动也应满足式(9)，故式(11)简化为

该结果即为运动方程线性化的一般形式。

在运动方程线性化时，将出现力和力矩的偏量。一般来说，若某个力或力矩是若干变量的函数A=A(a,b,…)，则A的偏量应为：

式中，Aa,Ab,…表示在基准点的偏导数，即

2.2 未考虑风切变时纵向运动方程的线性化

若不考虑飞行高度的变化对力和力矩的影响，则按照2.1节所述方法，对式(1)进行线性化，得

同时，对式(2)、(3)分别进行线性化，得到：

将式(15)、(16)代入式(14)，消去变量 ∆θ 和 ∆ωz；把∆v、∆ ϑ、∆ωz、∆α看做状态变量，∆Pc看做输入变量，得到如下的耦合方程组：

2.3 考虑风切变时纵向运动方程的线性化

依据2.2节，同理可得存在风切变下的线性状态方程组，如下所示

3 平飞情况下纵向模态算例

第2节已给出了在不考虑飞行高度变化时有无风切变飞机的纵向运动。现给出在基准运动为水平飞行，即 θ*=0时飞机纵向模态算例。以一定的初始条件[8]分别代入式(18)、(19)，求出对应的特征值，结果如表1、表2所示。

表1 未考虑风切变的纵向模态参数

表2 考虑风切变的纵向模态参数

由上述结果可以看出，在受到风切变扰动后，飞机长周期和短周期模态的半衰期T12、振荡频率ω 均有所缩短，而周期T 延长。

4 结论

第3节出现的结果，主要因为飞机在受到风切变影响时，相当于间接减小了升阻比，导致了飞机半衰期的缩短和周期的延长，同时在长周期模态下，飞机的飞行品质也有一定幅度的下降，而短周期模态下则下降不大。在近似处理中，由于略去了转动能，且阻力与推力始终平衡时，长周期模态体现了飞机在保守力场中的等幅振荡运动，位能增加时动能减少，位能减少时动能增加。考虑风切变时，高度增加，气流速度也增加，则对飞机来说，就从大气流动中获得了一部分使动能增加的能量，这部分能力增加的值越大，飞机振荡频率就越低。最后，当增加的能力超过某一值后，就会出现非周期发散现象。

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